Cтраница 3
Следовательно, ряд ( 15) сходится для всех значений t, причем в соответствии с признаком Вейерштрасса эта сходимость равномерная. [31]
Это означает, что при каждом г сходящегося мажорирующего ряда нет, а потому, пользуясь признаком Вейерштрасса, о равномерной сходимости ряда ( 6) ничего сказать нельзя. [32]
Для каждой такой функции расходится и ряд из модулей коэффициентов Фурье, поскольку из сходимости этого ряда по признаку Вейерштрасса вытекала бы равномерная сходимость самого ряда Фурье. [33]
В случае комплексных функциональных рядов убеждаться в равномерной сходимости также можно по наличию положительного мажорантного ряда, так как признак Вейерштрасса сохраняет силу и здесь. Из теорем о функциональных рядах нам понадобится в дальнейшем теорема о почленном предельном переходе в равномерно сходящемся ряде [ 433, теорема 4 ]; доказывается она так же, как и выше. [34]
В случае комплексных функциональных рядов убеждаться в равномерной сходимости также можно по наличию положительного мажорантного ряда, так как признак Вейерштрасса сохраняет силу и здесь. Из теорем о функциональных рядах нам понадобится в дальнейшем теорема о почленном предельном переходе в равномерно сходящемся ряде 433, теорема 4; доказывается она так же, как и выше. [35]
Вместе с тем, как это было показано выше, этот ряд не сходится равномерно в круге г 1 - Признак Вейерштрасса дает только достаточные условия равномерной сходимости ряда, которые отнюдь не являются необходимыми. [36]
Приведем теперь основной критерий равномерной сходимости, имеющий важное теоретическое значение и позволяющий установить более тонкие достаточные признаки равномерной сходимости, чем признак Вейерштрасса. [37]
Оба интеграла сходятся равномерно по параметру х на любом конечном отрезке [ а, Ь ] С ( 0, оо) по признаку Вейерштрасса. [38]
Так как правые части этих неравенств не зависят от г а и ряд, составленный из правых частей, сходится, то по признаку Вейерштрасса ( см. § 9.8, теорема 1) степенной ряд ( 1) сходится на а. [39]
Так как правые части этих неравенств не зависят от z E vq и ряд, составленный из правых частей, сходится, то по признаку Вейерштрасса ( см. § 11.7, теорема 1) степенной ряд ( 1) сходится на jq абсолютно и равномерно. [40]
Так как правые части этих неравенств не зависят от z e аг; и ряд, составленный из правых частей, сходится, то по признаку Вейерштрасса ( см. § 9.8, теорема 1) степенной ряд ( 1) сходится на ач абсолютно и равномерно. [41]
Если а G ( 0, г), то ряд ( 1) сходится равномерно на отрезке [ - а, а ] в силу признака Вейерштрасса равномерной сходимости, поскольку Vn 1 V х G [ - а, а ]: апЕп anQn и для х а ряд ( 1) сходится абсолютно. [42]
В формулировке этой теоремы рассматривается отрезок [ а, Ь ], но, как уже было замечено, все рассуждения этого параграфа, и в частности признак Вейерштрасса, остаются верными, если вместо отрезка рассматривать любой промежуток, как конечный, так и бесконечный. [43]
При х г члены ряда ( 31) по абсолютной величине не превосходят соответствующих членов этого ряда, который, таким образом, играет роль мажорантного ряда, и, по признаку Вейерштрасса, ряд ( 31) для указанных значений х сходится равномерно. [44]
При этом условии функции а и Ь, определяемые равенствами ( 5), непрерывны по А на R, поскольку определяющие их интегралы сходятся равномерно по А на и, в силу признака Вейерштрасса. Согласно лемме Римана, а ( А) - О, Ь ( А) - О, А - оо. [45]