Cтраница 2
Широта признака сходимости характеризуется классом тех рядов, к которым этот признак применим. Например, критерий сходимости Коши применим ко всем вообще численным рядам; большинство приведенных в этой главе признаков сходимости применимо к рядам с положительными членами; интегральный признак Маклорена - Коши применим к рядам, в которых положительные члены монотонно убывают с увеличением их номера. Всякая попытка анализа сходимости ряда при помощи того или иного признака должна начинаться с проверки того, входит ли исследуемый ряд в сферу применимости используемого признака. [16]
Изучение признаков сходимости несобственных интегралов начнем со случая, когда подынтегральная функция неотрицательна. [17]
Лебег получил признак сходимости, более сильный, чем все предыдущие. Этот признак самим Лебегом был высказан в нескольких различных формах. [18]
К числу признаков сходимости можно отнести также всякого рода теоремы, позволяющие сводить выяснение вопроса о сходимости некоторого данного ряда к аналогичному вопросу о другом ряде, который устроен более просто или хотя бы более знакомый. [19]
Во всех признаках сходимости в точке доказательство всегда велось по такому принципу: если некоторое условие А выполнено в данной точке х, то для этого х справедливо (11.1), а потому ряд сходится. Здесь только следует не упустить одно важное обстоятельство. [20]
Заметим, что признак сходимости, доказанной выше, является только достаточным признаком сходимости знакочередующегося ряда, но не необходимым: существуют такие знакопеременные ряды, которые сами сходятся, но ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся. В связи с этим полезно ввести понятия об абсолютной и условной сходимости знакопеременного ряда и на основе этих понятий классифицировать знакопеременные ряды. [21]
Такие, как признак сходимости Ермакова, его работы по теории дифференциальных уравнений, диссертации Еащенко-Захарченко и Ромера, сочинения Рахманинова. [22]
Заметим, что признак сходимости, доказанный выше, является только достаточным признаком сходимости знакочередующегося ряда, но не необходимым: существуют такие знакопеременные ряды, которые сами сходятся, но ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся. В связи с этим полезно ввести понятия об абсолютной и условной сходимости знакопеременного ряда и на основе этих понятий классифицировать знакопеременные ряды. [23]
Заметим, что признак сходимости, доказанной выше, является только достаточным признаком сходимости знакочередующегося ряда, но не необходимым: существуют такие знакопеременные ряды, которые сами сходятся, но ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся. В связи с этим полезно ввести понятия об абсолютной и условной сходимости знакопеременного ряда и на основе этих понятий классифицировать знакопеременные ряды. [24]
Это вытекает из признака сходимости Коши для несобственных интегралов, так как числа ( l - f - /) / 2 и ( 1 - 1) / 2 всегда меньше единицы. Эти интегралы невозможно решить простыми методами, с применением табличных интегралов. [25]
Мы будем называть признаком сходимости или расходимости каждсе правило, позволяющее установить сходимость или расходимость ряда по свойству его общего члена - или конечного числа членов, начиная с общего. [26]
Мы видим, что признак сходимости Лейбница является довольно широким по применимости, весьма практичным и идеально чувствительным. Это не противоречит сказанному в конце § 5 главы 3: условная сходимость знакочередующегося ряда является в среднем, если можно так выразиться, более широким фактом, чем сходимость ряда с положительными членами; поэтому и распознать ее оказывается в каком-то смысле легче. [27]
Более чувствительным, чем признак сходимости Раабе, и более практичным, чем признак сходимости Бертрана, является признак сходимости Гаусса. [28]
Мы приведем сейчас один признак сходимости, позволяющий иногда сводить исследование к случаю положительных функций. [29]
Для знакочередующихся рядов имеется достаточно общий, чувствительный и практичный признак сходимости, принадлежащий Лейбницу. [30]