Cтраница 3
Для этого могут быть использованы признаки сходимости таких рядов: признак Даламбера, Коши, признаки сравнения, интегральный признак. [31]
Обратить внимание Все следующие ниже признаки сходимости достаточны, но не необходимы. [32]
В предыдущем параграфе мы вывели признак сходимости общего характера, относящийся к знакочередующимся рядам, члены которых по абсолютной величине убывают; этот признак дает возможность установить по крайней мере условную сходимость таких рядов. [33]
Для них мы установим ряд признаков сходимости и расходимости. [34]
Оба приведенных признака являются аналогами признаков сходимости Абеля и Дирихле для числовых рядов. [35]
Обычно при таком исследовании пользуются признаками сходимости ( или существования) несобственного интеграла. [36]
Дирихле превращается для этого случая в признак сходимости Лейбница. [37]
Подчеркнем, что описанный только что признак сходимости Куммера является общим признаком: выбирая различным образом расходящийся ряд (12.1), мы будем получать различные конкретные признаки сходимости. [38]
Наконец, для того чтобы применение признака сходимости было не только принципиально возможным и практически выполнимым, но и действительно приводило к цели, признак должен быть достаточно чувствительным. [39]
В § 2 мы установили ряд признаков сходимости для рядов с положительными членами. В этом параграфе мы изучим во прос о признаках сходимости для рядов с членами любого знака. [40]
Мимоходом можно заметить, что Коши сформулировал признак сходимости ( как было сказано, без доказательства) лишь для числовых последовательностей. Здесь же он попросту перенес этот признак на более сложный предельный переход, никак не оправдав возможность такого переноса. [41]
Вообще, следует заметить, что между признаками сходимости несобственных интегралов и признаками сходимости числовых рядов ( или последовательностей) имеется очень много общего. [42]
Обратим внимание на то, что в признаке сходимости Лейбница указываются три условия, которым должен удовлетворять ряд: знакочередуемость членов ряда, а также монотонность и сходимость к нулю их абсолютных величин. Убедимся в том, что каждое из этих трех условий является существенным. [43]
Таким образом, в полном пространстве имеет место признак сходимости Коши: для того чтобы последовательность хп была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она сходилась в себе. [44]
Выражаясь несколько вольно, можно сказать, что признак сходимости Бертрана в том же смысле и настолько же чувствительнее признака Раабе, в каком и насколько признак Раабе чувствительнее признака Даламбера: в тех случаях, когда признак Раабе указывает на сходимость или на расходимость ряда, значение предела, фигурирующего в признаке Бертрана, будет равно соответственно со или - оо. [45]