Cтраница 2
Ход итерационного процесса в случае применения метода Ньютона представлен в табл. 6.1. Точное значение г / ( 0) в этой задаче равно 0 5521, так что погрешность аппроксимации при h 0 1 сказывается лишь в четвертом знаке. Заметим, что приведенный выше пример оказывается настолько простым, что его вполне можно анализировать с помощью небольшой персональной ЭВМ. [16]
Само решение может быть получено конечным числом применений метода Ньютона. Ниже в § 2 с аналогичных позиций будет рассмотрена задача Дирихле для общего нелинейного эллиптического уравнения. [17]
Например, в табл. 4.12 показано, что применение метода Ньютона - Рэфсона в точке ( 2 9997; 2 8499), соответствующей г 167, дает новую точку ( 3 0000; 2 8502) с точностью до пяти верных знаков. Если же производные нельзя получить аналитически, как они предварительно были найдены здесь, то метод Ньютона - Рэфсона становится менее полезным для этих целей. Трудности численного дифференцирования тем не менее уменьшаются, если в распоряжении имеется некоторая информация относительно поведения F, полученная из предварительных результатов поиска экстремума. [18]
Например, в табл. 4.12 показано, что применение метода Ньютона - Рэфсона в точке ( 2 9997; 2 8499), соответствующей г167, дает новую точку ( 3 0000; 2 8502) с точностью до пяти верных знаков. Если же производные нельзя получить аналитически, как они предварительно были найдены здесь, то метод Ньютона - Рэфсона становится менее полезным для этих целей. Трудности численного дифференцирования тем не менее уменьшаются, если в распоряжении имеется некоторая информация относительно поведения F, полученная из предварительных результатов поиска экстремума. [19]
Скорость сходимости будет медленнее, чем в случае применения метода Ньютона, однако объем вычислений на одном шаге сокращается. [20]
Следует отметить, что подход, основанный на применении метода Ньютона, обладает высокой скоростью сходимости, но применим только для модели однородного пласта. [21]
То же самое рекуррентное соотношение может быть получено путем применения метода Ньютона - Канторовича к исходному нелинейному уравнению. [22]
Уравнение (4.344) является уравнением самого общего вида, поэтому рассмотрим применение метода Ньютона - Канторовича именно для него. [23]
Процедура первого подхода аналогична описанной выше, второго - основана на применении метода Ньютона, который использует вторую производную от минимизируемой функции. Следует отметить, что метод Ньютона, хотя и обладает более высокой скоростью сходимости, но применим только для модели однородного пласта. [24]
Пусть, как и выше, простой корень а многочлена f ( x) содержится в отрезке ( а, Ь), выбранном так, как это необходимо для применения метода Ньютона. [25]
Но даже если этот итерационный процесс сходится при любом начальном приближении, сходимость может оказаться медленной. Преодолеть это затруднение хорошо помогает применение метода Ньютона: заменяя в нелинейном интегральном уравнении у на y - - ky, разлагая зависящие от у выражения по степеням Ау и отбрасывая в этих разложениях члены порядка выше первого, можно получить линейное интегральное уравнение относительно Дг /, которое затем аппроксимируется системой линейных алгебраических уравнений. Детали такого подхода поясняются на примере, приведенном в разд. [26]
Скорость сходимости к экстремуму удается существенно повысить, используя в (6.6) матрицу Ng специального вида. Наиболее заметное уменьшение количества шагов получается при применении метода Ньютона, где Ng - матрица, обратная матрице Гессе. Однако этот метод не позволяет получить малые затраты машинного времени из-за большой трудоемкости вычисления матрицы Гессе. [27]
В случае неположительно определенной или вырожденной квадратичной формы применение метода Ньютона - Рафсона невозможно. Для того чтобы это оказалось возможным в качестве М обычно используют такую матрицу, которая: 1) являясь положительно определенной, обеспечивает уменьшение на траектории системы (3.161); 2) будучи неким аналогом матрицы А-1, обеспечивает хорошую сходимость минимизации. [28]
Считают, что данную математическую модель удобно исследовать методом последовательных приближений, однако такой метод имеет ограниченное значение из-за многозначности решения. Другим решением этой проблемы на основе геометрических представлений является применение метода Ньютона - Рафсона ( см. [4]) для системы нелинейных алгебраических уравнений со многими переменными. [29]
Обычно XQ выбирают так же, как и при использовании метода Ньютона, а х берут достаточно близким к XQ. Погрешность вычислений при применении М.с. убывает медленнее, чем при применении метода Ньютона, но зато в этом случае не используются значения производной, что позволяет при одинаковом объеме вычислений сделать вдвое больше итераций и за счет того получить более высокую точность. [30]