Cтраница 3
В работах М е л е н т ь е в а [8] разработана техника применения метода Ньютона для нахождения комплексных корней алгебраических уравнений. [31]
Ньютона или другими аналогичными процессами. Эта теорема заключает и уточняет, например, известные результаты о сходимости процесса Ньютона для систем нелинейных алгебраических уравнений, а также упоминавшиеся результаты Д. М. Загадского о применении метода Ньютона для нелинейных интегральных уравнений. Следует подчеркнуть некоторое принципиальное значение этой теоремы; именно, из нее ясно, что если каким-либо приближенным методом удается достаточно точно удовлетворить уравнению, то, вообще говоря, тем самым устанавливается и наличие близкого точного решения задачи. Иначе говоря, как правило, в конкретных случаях калькулятивными методами в известном смысле решается и проблема существования решения. [32]
Применение метода Ньютона к решению этих уравнений существенно проще, нежели при решении узловых уравнений, поскольку генераторных ветвей в схеме значительно меньше, чем узлов в полной схеме замещения. [33]
Уравнения (5.4.0), (5.4.12) и (5.4.13) ( или (5.4.14)) образуют систему 2п - - 1 нелинейных уравнений относительно In 1 неизвестных составляющих х, v, а. Построение матрицы Якоби для применения метода Ньютона требует вычисления вторых производных функций / - или использования соответствующих разностных формул. [34]
При GI 0 5 полностью консервативная схема (3.23) становится безусловно устойчивой, но для ее решения приходится привлекать какие-либо итерационные процессы. Использование простейшего явного итерационного процесса, как и в одномерном случае, приводит к ограничениям на шаг сетки по времени, которые являются даже более жесткими, чем условие Куранта. Анализ показывает, что весьма эффективным итерационным методом решения неявных разностных схем газодинамики является метод Ньютона. Мы опустим здесь достаточно громоздкие выкладки, связанные с применением метода Ньютона к схеме (3.23), которые можно найти в [57], и ограничимся изложением соображений общего характера. [35]
Задача выпуклого программирования при наличии хорошего начального приближения может быть сведена к последовательности задач безусловной оптимизации. При этом сложность задач от шага к шагу не возрастает, чем предложенный метод выгодно отличается от метода штрафных функции. Предложенный метод рекомендуется использовать, когда методы первого порядка сходятся медленно, а применение метода Ньютона вызывает значительные трудности из-за необходимости вычислять матрицу вторых производных функции Лагранжа. [36]