Cтраница 2
Основное содержание книги в той или иной степени связано с применением разностных методов для решения дифференциальных уравнений. [16]
В случаях, когда решаемая численно система жестких обыкновенных дифференциальных уравнений существенно нелинейна, наиболее оправданным, по-видимому, является применение разностных методов, из которых в настоящее время наиболее эффективным является метод Гира. В случаях, когда спектр якобиана содержит большие положительные собственные значения, целесообразно использовать методы локальной линеаризации. [17]
Однако ни практике насыщение одного сигнала в сложном спектре без возмущения остальных может представлять собой столь сложную проблему, что именно она часто определяет возможность применения разностного метода измерения ЯЭО. [18]
Мы оказываемся в ситуации, рассмотренной в 1.1.6. Однако здесь имеются некоторые особенности, так что целесообразно описать в более или менее общем виде системы уравнений, возникающие при применении разностных методов. [19]
Аналогичные соображения используются в вариационном исчислении, где из принципа оптимальности выводятся уравнения Эйлера-Лагранжа. Применение разностных методов к аналитическим задачам такого рода дает промежуточный класс задач, поддающихся решению на машинах. [20]
При этом каждая производная, входящая в дифференциальные уравнения, заменяется ( аппроксимируется) разностным соотношением, содержащим значения сеточной функции в нескольких узлах сетки. Однако применение разностных методов для решения поставленной задачи не всегда возможно, что обусловлено неудобством задания на границах исследуемой области смешанных граничных условий ( в напряжениях и перемещениях) и трудностями аппроксимации производных разного порядка. Поэтому здесь чаще применяется другой путь решения поставленной задачи, основанный на вариационном принципе Лагранжа. [21]
При моделировании некоторых элементарных процессов ( мономолекулярный распад многоатомных молекул, процессы перераспределения энергии) возникает необходимость расчета длинных ( более 100 низкочастотных колебаний молекулы) траекторий. В этом случае оказывается, что применение разностных методов может привести к существенному накоплению ошибки численного интегрирования. [22]
Это явилось причиной, вызвавшей необходимость применения разностных методов, так как они способны зарегистрировать фактическое изменение норм, а также экономию по сравнению с заранее установленными затратами - отклонения от норм. [23]
Книга возникла на основе лекций, которые авторы в течение нескольких лет читали в Московском государственном университете для студентов и аспирантов физического факультета и факультета вычислительной математики и кибернетики. Она предназначена для широкого круга читателей, связанных с применением разностных методов к решению задач газодинамики и магнитной гидродинамики. [24]
Изложим, следуя [9], метод исследования локальной консервативности разностных схем для уравнений механики сплошной среды. При этом предполагается, что у читателя уже есть некоторые навыки и опыт построения и применения разностных методов для математического моделирования волновых процессов в твердых телах. [25]
По-видимому, разностный метод, изложенный в этом пункте, не был проверен в действительных расчетах на машинах. Было бы интересно изучить, сопровождается ли увеличение математической строгости и изящества доказательства, достигнутое в результате применения описанного разностного метода, уменьшением погрешности метода и сложности машинного кода. [26]
В некоторых случаях удается уточнить детали стереохимии, отражающие малые конформацион-ные изменения белковых остатков. Пределы разрешения изменений распределения электронной плотности между двумя изоморфными кристаллическими структурами ( d - im) могут быть расширены путем применения разностного метода Фурье. По этому методу при фурье-синтезе рассчитывается разность в распределении электронной плотности между двумя структурно подобными молекулами. [27]
Принципиально можно рассматривать непрерывный процесс как дискретный с достаточно большим числом стадий N и, таким образом, применять описанную в предыдущих разделах методику оптимизации для этого процесса. Зачастую именно такой путь оптимизации непрерывных процессов и используется, тем более, что при решении оптимальных задач на вычислительных машинах интегрирование дифференциальных уравнений обычно выполняется с применением разностных методов, по существу заменяющих непрерывный процесс его дискретным приближением. Однако получаемые при применении принципа оптимальности уравнения для непрерывного процесса могут иметь самостоятельный интерес, поскольку при этом появляется возможность их решения иными методами. [28]
Принципиально можно рассматривать непрерывный процесс как дискретный с достаточно большим числом стадии N, и, таким образом, применять описанную в предыдущих разделах методику оптимизации для этого процесса. Зачастую именно такой путь оптимизации непрерывных процессов и используется, тем более, что при решении оптимальных задач на вычислительных машинах интегрирование дифференциальных уравнений обычно выполняется с применением разностных методов, по существу заменяющих непрерывный процесс его дискретным приближением. Однако получаемые при применении принципа оптимальности уравнения для непрерывного процесса могут иметь самостоятельный интерес, поскольку при этом появляется возможность их решения иными методами. [29]
Разностные методы численного решения краевых задач обладают весьма широкой областью применимости. Тем не менее существенные трудности для использования разностных методов возникают при разностной аппроксимации краевых условий общего вида ( в частности, нелокальных) в областях произвольной формы, поскольку в результате этой аппроксимации должна получаться устойчивая и удобная для численного решения разностная схема. Существенную трудность для применения разностных методов представляют также внешние задачи с условиями на бесконечности. [30]