Cтраница 4
Поэтому они являются бирациональными, а ввиду следствия - и бирегулярными автоморфизмами V. Образованная этими автоморфизмами группа является, как легко показать, свободной абелевой группой с 8 - ю образующими 9 - Мы получаем, таким образом, пример поверхности, которая имеет бесконечную группу автоморфизмов, но не имеет, как легко проверить, алгебраической группы ( или, при k - С, группы Ли) автоморфизмов. [46]
Однако удалось получить мало результатов о существовании более чем одной замкнутой геодезической на таких многообразиях. Вероятно, наиболее замечательным из них является теорема Люстерника и Шнирельмана [1], установленная ими в 1929 г. Они показали, что на односвязной компактной поверхности всегда существуют по крайней мере три замкнутые геодезические без самопересечений. Примерами поверхностей, на которых есть ровно три таких замкнутых геодезических, являются эллипсоиды, которые мало отличаются от обычной сферы. Отметим при этом, что на эллипсоиде всегда есть бесконечное число других однократных замкнутых геодезических, но, вообще говоря, они имеют самопересечения. [47]
Большая часть фигур, которые мы обычно называем поверхностями, - это поверхности ориентируемые. Ниже мы покажем, что многообразия, названные нами римановыми поверхностями, являются поверхностями в смысле данного в этой главе определения, и даже ориентируемыми. Однако легко дать примеры неориентируемых поверхностей. Первую из них можно получить из прямоугольника ( листа бумаги), вершины которого обозначены в циклическом порядке буквами А, В, С, D, склеивая сторону АВ со стороной CD так, чтобы точка А совпала с точкой С, а точка В - с точкой D. Полученная таким способом фигура имеет только один край, образующий в пространстве простую замкнутую кривую. Если отбросить этот край, то останется открытая неориентируемая поверхность: в самом деле, всякая замкнутая кривая, полученная при указанном склеивании из простой дуги, лежащей в прямоугольнике ABCD с концами на сторонах АВ и CD1), будет однобережной кривой. [48]
Если поверхность выпукло-вогнутая, то знаки кривизн к и кг разные ( Г0) и такие поверхности называются поверхностями отрицательной гауссовой кривизны. Такие поверхности называются поверхностями нулевой гауссовой кривизны. На рис. 9.3 показаны примеры поверхностей положительной ( рис. 9.3, а), отрицательной ( рис. 9.3, б) и нулевой ( рис. 9.3, в) гауссовых кривизн. [49]