Cтраница 3
Обсуждение задачи о фальшивой монете в разд. В этой главе мы продолжим изучение кодов, сохраняющих разности, для того, чтобы привести нетривиальные примеры анализа отдельного алгоритма и класса всех алгоритмов. [31]
После того, как методом обратной задачи рассеяния была доказана полная интегрируемость некоторых релятивистски инвариантных моделей: уравнения синус - Гордон [9], киральннх полей [10] и др., возник вопрос, не окажутся ли вполне интегрируемыми также и соответствующее квантовополевые модели. Положительное решение этого вопроса представляло бы большой интерес для квантовой теории поля, так как дало бы нетривиальный пример точно решаемой квантово-полевой модели. [32]
Можно предположить, что если m2 ( k - 1), то все примеры тривиальны. В противоположность этому для т 2 ( & - 1) 4, 8 и 16 мы приведем ниже нетривиальные примеры, принадлежащие Кюиперу. [33]
Эти функции, являясь по виду объектами анализа, оказываются тесно свяг занными с а) диофантовыми уравнениями ( арифметическими схемами) и б) представлениями Галуа. Связь между этими тремя типами объектов осуществляется посредством отождествления соответствующих им L-функций. Нетривиальный пример связи а) и б) дается доказательством теоремы Фальтингса: функция LI ( M, s) однозначно определяет абелево многообразие М над числовым полем с точностью до нзогении: для этого достаточно даже знать лишь конечное число эйлеровых множителей ( см. § 5 гл. [34]
Не всегда счетность того или иного множества очевидна. Например, счетным является множество Q всех рациональных чисел, но доказательство этого требует некоторых усилий. Нетривиальные примеры счетных множеств будут приведены в следующих параграфах. [35]
Пространство X в этом случае называется произведением слоев. В, каждый слой выглядит как произведение слоев, но глобально могут возникать осложнения, связанные с кручением. Нетривиальным примером в этом отношении служит лист Мебиуса ( фиг. В - окружность; слой F является линейным сегментом. [36]
Такие системы с переменной диссипацией с нулевым средним являются лишь относительно грубыми, а системы с переменной диссипацией с ненулевым средним - просто ( абсолютно) грубыми. Такие системы являются нетривиальными примерами относительно и абсолютно грубых систем, имеющих порядок выше двух. [37]
Рассматриваются вопросы, связанные с изменением множества собственных значений матрицы вероятностей переходов конечной цепи Маркова в случае, когда при укрупнении ее состояний снова получается цепь Маркова. Основная теорема статьи утверждает, что при укрупнении состояний в множестве собственных чисел матрицы вероятностей переходов изменяются лишь кратности собственных чисел, а новые значения не появляются. Это общее утверждение конкретизируется на ряде нетривиальных примеров. [38]
Легко видеть, что граф с диаметром 2 и максимальной валентностью а имеет не более а2 1 вершин, а граф с диаметром 5 и максимальной валентностью а - по крайней мере а2 1 вершин. Следует отметить, что аналогичные границы существуют и для больших значений диаметра и обхвата, но, как было показано Банней, Ито [7] и Дэймрелом [20], они достигаются лишь графами, содержащими единственный цикл. В случае диаметра 2 существуют, однако, и нетривиальные примеры. [39]
Но Г представляет низший порядок в динамо-эффекте, и поэтому им нельзя пренебрегать. Таким образом, предел малых магнитных чисел Рейнольдса дает нетривиальный пример действия динамо, выходящий за рамки пояснения физических основ и приводящий к количественной оценке Г, которая может быть использована в астрономических приложениях. [40]
Спектральные инварианты не могли различить сдвиги, порожденные схемами Бернулли, поскольку все они имеют один и тот же счетнократный лебеговский спектр; Колмогоров доказал, что энтропия схемы Бернулли равна энтропии соответствующего сдвига и потому является инвариантом динамической системы. Вскоре Мешалкин [1959], Блюм и Хансон ( Blum, Hanson [1963]), Лившиц [1974] построили нетривиальные примеры кодирования схем Бернулли с одинаковой энтропией. [41]
О подобных примерах, относящихся к гидрометеорологии, рассказывается, в частности, в книгах [49, 87, 95, 98, 154, 162, 163, 245], в последней из которых рассмотрен также ряд задач, относящихся к сейсмологии и другим разделам физики Земли, и имеется обширная библиография по вопросу о флуктуирующих временных рядах геофизического происхождения. Рассмотрение множества всевозможных временных сдвигов заданной функции времени х ( t) и осреднения по этому множеству играет важную роль в развитом в начале 30 - х гг. Винером обобщенном гармоническом анализе ( см. [ 41, гл. Теория Винера была специально ориентирована на приложения к изучению неупорядоченных колебаний типа тех, которые изображены на рис. 1 и 2; вероятностные соображения в этой теории нигде явно не упоминаются, но в качестве единственного нетривиального примера функции х ( t), к которой применима его теория, Винер приводит ( в [ 41, с. [42]
Кольцо R с единицей называется вполне приводимым справа, если R - вполне приводимый правый Д - модуль. Другими словами, кольцо вполне приводимо справа, если оно разлагается в прямую сумму конечного числа своих минимальных правых идеалов. Вполне приводимым справа кольцом является каждое поле, а также конечная прямая сумма полей. Нетривиальный пример доставляет следующая теорема. [43]
Тем не менее существуют так называемые однородные фракталы, у которых все обобщенные размерности равны, то есть все МФ-функции вырождены. С точки зрения информационного обоснования такие объекты Ф - сим-метричны. Примерами таких объектов являются ковры Серпинского и любые другие одномасштабные регулярные фракталы. Это нетривиальные примеры, так как при вырожденном спектре эти объекты имеют нецелые размерности. Малейшее нарушение равнораспределения может привести к нарушению Ф - симметрии, но ее нарушение не сводится просто к неоднородности меры. Например, в случае сильно неоднородных распределений Больцмана и Гаусса мы можем аналитически получить выражения для положительных ветвей qQ вырожденных МФ-функций. [44]
Выводы, полученные в предыдущем разделе, основываются только на рассмотрении диаграмм прохождения сигналов без учета характера исследуемой системы. Особенно ценно то, что эти выводы являются достаточно общими и поэтому могут применяться к любым системам, имеющим одинаковое топологическое представление. В качестве нетривиального примера, иллюстрирующего это положение, рассмотрим делитель напряжения, изображенный на фиг. [45]