Cтраница 4
Как правило, найдутся процедура выбора и решающая функция с общим риском, меньшим, чем риск всякой процедуры, при которой статистик должен задать некоторый фиксированный объем выборки заранее, до проведения наблюдений. В некоторых задачах, однако, цену наблюдения в случае, когда наблюдения производятся поочередно, назначают более высокую, чем в случае, когда все наблюдения производятся одновременно. В других задачах ( нетривиальные примеры которых будут даны в дальнейшем) статистик не получает выигрыша от последовательного выбора, даже если цена наблюдения одна и та же в обоих случаях. [46]
В примерах 3.2 и 3.3 ив обсуждении, предшествующем примеру 3.2, мы уже отмечали, что в нашу постановку можно формально включить теорию алгебраической сложности. Задача минимизации комбинаторной сложности дает нетривиальный пример того, как алгебраическая сложность укладывается в рамки этой постановки. [47]
А существует алгоритм, который за конечное число шагов определяет, является ли формула А теоремой. Однако неразрешима даже простейшая теория - исчисление предикатов, неразрешима всякая непротиворечивая теория, содержащая арифметику, и многие др. теории. С другой стороны, обнаружены и нетривиальные примеры разрешимых теорий, напр. [48]
Рассматриваемая задача является частным случаем обычной. Однако все предложенные за 40 лет методы такого рода гарантировали отыскание точного решения лишь за экспоненциально зависящее от размерности задачи число операций. Подчеркнем, что речь идет a гарантиях. Известные конечные методы достаточно эффективны, но для каждого из них построены совсем нетривиальные примеры задач с экспоненциальной трудоемкостью решения. [49]
Теория интегральных операторов имеет многочисленные применения в самых различных областях математики и в первую очередь в теории интегральных и дифференциальных уравнений. Результаты этой теории применяются также в различных областях анализа и теории функций. Большой интерес теория интегральных операторов представляет для функционального анализа. Сапдер, теория интегральных операторов является источником всего современного функционального анализа и остается по настоящее время богатым источником нетривиальных примеров. [50]
Есть классификация Альберта [7], описывающая все алгебры над Q, на которых есть положительная инволюция. Скажем, всегда возникают кватернионные алгебры над Q со стандартной инволюцией. Конечно, возникают матричные алгебры над вполне вещественными числовыми полями и над полями СМ-типа. Есть и более нетривиальные примеры, но все они вполне обозримы. [51]
Поскольку до сих пор никто не сумел найти точного решения трехмерной модели Изинга ( и так как некоторые исследователи утверждают, что это, возможно, вообще неразрешимая задача. В настоящее время модель Гейзенберга нельзя решить точно даже для двумерных решеток, поэтому такой способ приближения представляется нам бесплодным. Однако несколько лет назад Берлин и Кац [23] получили довольно интересные решения ( и для двух - и для трехмерных решеток) на примере скорее нефизической модели ( так называемой сферической модели), которая в некотором отношении подобна модели Изинга. Однако показатели степени в критической области, полученные с помощью сферической модели, столь же плохо согласуются с экспериментом, как и результаты двумерной модели Изинга. Главным достижением сферической модели является то, что она представляет собой один из очень малочисленных нетривиальных примеров системы многих частиц, который можно решить точно для трех измерений. Этим утверждением мы не пытаемся приуменьшить значение модельных систем, которые пока не имеют эквивалента в виде реальной физической системы. Обычно теоретическая модель сама по себе дает много вопросов для обсуждения, и часто предсказания теоретической модели инициируют успешные исследования соответствующей физической системы. [52]