Cтраница 2
Если бы па функции Xi вместо условия аналитичности было наложено более слабое условие дифференцируемосш всякого порядка, то противоречащие примеры строились бы без труда. [16]
Однако неверно, что ряд Фурье сильно суммируем в любой точке Лебега; это доказали Литтлвуд и Харди [2], построив противоречащий пример. [17]
Начиная с 1948 г. Брауэр опубликовал несколько статей ( многие из них на голландском языке), в которых он дает противоречащие примеры для некоторых классических теорем [ Брауэр, 1948, стр. [18]
Но обратное предложение, вообще говоря, не верно, и исследование, проведенное в § 9, показывает, как построить противоречащий пример. [19]
Посмотрим, как эта теорема соотносится с задачей о матрицах, которую мы обсуждали перед этим. Посмотрим, можем ли мы построить противоречащий пример. [20]
Верно ли, что любое замкнутое множество F с: / содержится хотя бы в одном из Еп. Если верно - доказать, если net - построить противоречащий пример. [21]
Па самом деле контроль над общностью определений составляет постоянную часть математического исследования, которая завершается только после тщательной проверки всех этапов работы. Чисто эстетические критерии простоты и стройности побуждают математика выдерживать уровень общности, пока он не столкнется с противоречащим примером или окажется не в состоянии построить доказательство из-за трудности задачи. С другой стороны, он должен без колебаний расставаться с пустыми обобщениями, которые, ничего не добавляя к нашему знанию, делают изложение утомительным, а алгоритмы громоздкими. [22]
Этот тезис, однако, не может быть предметом доказательства: ведь алгоритм в обычном смысле - это не точное математическое понятие, о котором можно рассуждать формально, по строгим правилам. Источником обоснования такого рода содержательных тезисов служит практика: она показывает, что все известные алгоритмы могут быть представлены в виде машины Тьюринга или нормального алгорифма Маркова ( или машины Поста и др.); найти же противоречащий пример никто не смог. Математическая практика, таким образом, подтверждает эти тезисы. Их подтверждает и то обстоятельство, что - в этом случае уже с полной математической строгостью - удается доказать эквивалентность друг другу всех точных определений понятия алгоритм, в том числе эквивалентность машины Тьюринга и нормального алгорифма Маркова. И, наконец, еще одно, самое важное соображение: построенные с помощью определения нормального алгорифма или машины Тьюринга ( и связанных с ними тезисов) математические и логические теории решают ряд трудных задач самих математики и логики ( в том числе, подчеркивает С. А. Яновская, и конструктивной математики) ( С. А. Яновская, 1966, стр. [23]
Было выдвинуто предположение [ Курода, 1951, стр. V) Р () всегда истинна, если х пробегает какой-нибудь исчислимо бесконечный вид. Во всех противоречащих примерах, которые были приведены, х пробегает вид, не являющийся исчислимо бесконечным. Это имеет место и для приведенного М, хотя М и является счетным с классической точки зрения. [24]
Это высказывание истинно, когда Р ( а) истинно для каждого элемента а множества М, и ложно в противном случае. Для того же, чтобы убедиться в ложности высказывания ( Ух) Р ( х), достаточно найти лишь один элемент а множества М, для которого высказывание Р ( а) ложно. V), достаточно найти один противоречащий пример. [25]
Гипотеза, которая противопоставляется нулевой, называется альтернативной и обозначается Я. Выделение нулевой гипотезы состоит в том, что Я0 обычно рассматривается как утверждение, которое более важно, если оно отвергнуто. Это основано на общем принципе, согласно которому теория должна быть отвергнута, если есть противоречащий пример, но не обязательно должна быть принята, если такого примера найти нельзя. [26]
Для сходимости методов нужно, чтобы в точке х выполнялись определенные условия. Мы будем считать, что в х нормали активных ограничений линейно независимы и выполнены достаточные условия локального минимума второго порядка ( см. гл. Эти предположения почти всегда оправдываются. Есть, конечно, и противоречащие примеры, но они обычно возникают не из практики, а придумываются специально для иллюстрации возможных патологий. [27]
Корреляционные зависимости встречаются очень часто. Например, когда мы говорим о зависимости веса человека от его роста, то речь идет, конечно, о корреляционной зависимости, так как вес не определяется ростом однозначно; в то же время ясно, что закон распределения весов двухметровых людей совсем не тот, что полутораметровых. Когда мы говорим, что курение сокращает продолжительность жизни, то, конечно, речь также идет о корреляционной зависимости, так как имеются и противоположные примеры; однако закон распределения продолжительности жизни у некурящих такой, что среднее значение этой продолжительности выше, чем у курящих. Распознание корреляционных зависимостей требует гораздо большего внимания, чем функциональных, так как на многих людей противоречащие примеры производят слишком большое впечатление. На непонимании разницы между функциональной и корреляционной зависимостями основано известное порицание. [28]
Приняв два предположения - согласно первому бутерброд ничего не стоит, согласно второму - бисквит выдается в виде бесплатного приложения к лимонаду и бутербродам ( если бы хоть одно из этих предположений соответствовало действительности, в кондитерскую нельзя было бы пробиться. Бальбус получает, что завтрак Клары стоил 8 пенсов, а завтрак старушек - 19 пенсов независимо от принятой гипотезы. Отсюда в соответствии со своим правилом Бальбус заключил, что обнаруженное совпадение доказывает правильность полученных результатов. Я опровергну правило Бальбуса, указав всего лишь один пример, в котором это правило нарушается. Для того чтобы опровергнуть любое утверждение, одного противоречащего примера вполне достаточно. Если воспользоваться специальной логической терминологией, то можно сказать, что для опровержения общеутвердительного суждения достаточно опровергнуть противоположное ему частноотрица-тельное суждение. Здесь необходимо остановиться и совершить небольшой экскурс в логику вообще и в женскую логику в частности. Общеутвердительное суждение Все говорят, что такой-то и такой-то - мокрая курица мгновенно опровергается доказательством истинности частно-отрицательного суждения Пнтер говорит, что такой-то и такой-то - гусь лапчатый, эквивалентного суждению Питер не говорит, что такой-то и такой-то - мокрая курица. Общеотрицательное суждение Никто не бывает у нее великолепно парируется частноутвердительным суждением Я был у нее вчера. Короче говоря, любое из двух противоположных суждений опровергает другое. [29]
Имеет место критерий сходимости Коши. Я предоставляю вам дать позитивную формулировку этого критерия и доказать, что он является необходимым и достаточным условием сходимости. Интуиционистски доказуемы также теоремы о сходимости подпоследовательности, о пределе суммы и произведения двух последовательностей и некоторые другие. Однако многие классические теоремы уже не имеют места. В качестве примера я укажу на то, что ограниченная монотонная последовательность не обязана сходиться. Простым противоречащим примером является последовательность а, определенная следующим образом: а 1 - 2 -, если среди первых п знаков десятичного разложения л не встречается вхождения 0123456789; а 2 - 2 -, если такое вхождение имеет место. [30]