Cтраница 4
Ниже будет показано, что дополнительные условия ( 2) и ( 3) могут быть учтены с помощью множителей Лагранжа), и таким образом принцип минимума потенциальной энергии несколько обобщается. [46]
Следовательно, если функции перемещений выбраны так, что удовлетворяются условия ( i), ( ii) и ( iii), то функционал в принципе минимума потенциальной энергии дается выражением ( ср. [47]
Само по себе равенство ( 4) ничего не добавляет к условиям непрерывности, которые участвуют в формулировке вариационной задачи для Эл ( табл. 3.1) и не помогает при решении задачи, если решение выполняется с помощью принципа минимума потенциальной энергии. Однако это равенство позволяет переходить к другим функционалам, использование которых может упростить решение. [48]
Принцип минимума потенциальной энергии выражает характерное свойство упругих деформаций в случае равновесия. Так называемый принцип Еастильяно, к которому мы сейчас перейдем, выражает некоторое минимальное свойство систем напряжений, получающихся при равновесии. [49]
Известны три вариационные принципа теории упругости. Принцип минимума потенциальной энергии ( принцип возможных перемещений): потенциальная энергия упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы перемещений, удовлетворяющей кинематическим граничным условиям, принимает минимальное значение для системы перемещений, фактически реализуемой в упругом теле. Принцип минимума дополнительной работы Кастильяно ( понятие о дополнительной работе дано в конце этого параграфа): дополнительная работа упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы напряжений, удовлетворяющей уравнениям равновесия внутри тела и на его поверхности, принимает минимальное значение для системы напряжений, фактически реализуемой в упругом теле. Наконец, в вариационном принципе Рейсснера варьируются независимо друг от друга и перемещения, и тензор напряжений. [50]
Принцип минимума потенциальной энергии системы был получен путем сравнения полей перемещений упругого тела в состоянии равновесия и в бесконечно близком к нему допускаемом связями состоянии. [51]
Для рассматриваемой задачи виртуальная работа нагрузки имеет заданное значение С. Поэтому принцип минимума потенциальной энергии становится принципом минимума энергии деформаций. [52]