Cтраница 3
Решения нелинейных дифференциальных - уравнений, подобных ( 6.31 з) и ( 6.31 к), получать трудно, поэтому задачи иногда решают с помощью стандартных энергетических методов, задавая соответствующие, аналогичные (6.12), представления для и, v и w с неизвестными коэффициентами, Upq, Vpq и Wfq. Эти представления можно подставить в выражения для деформаций ( 6.31 в), последние подставить в выражение (4.69) для энергии деформации и затем воспользоваться принципом возможных работ с тем, чтобы получить уравнения, число которых равнялось бы числу неизвестных коэффициентов. [31]
В частности, при использовании энергетических методов можно на основании общих соображений или экспериментов задаваться формой или модой перемещения, которая бы аппроксимировала действительную форму, и, используя принцип возможной работы, определить его величину; этот способ называется методом Ре-лея по имени его автора. Иначе говоря, перемещение может быть описано в форме ряда по компонентам перемещений с неизвестными амплитудами, которые после суммирования могут соответствовать точному значению перемещения, амплитуды определяются из принципа возможной работы; этот способ обычно называют методом Релея - Ритца1), и с его помощью получают теоретические точные решения в виде бесконечных рядов. [32]
Этот член следует учитывать в случае, подобном описав-ному в § 2.6, где рассматривалась балка, у которой наложенные-связи препятствуют осевым смещениям на концах, если наследовать эту балку энергетическим методом, а не пользоваться уравнениями равновесия; этот метод, как было показано, удобен для применений. В случаях осевой нагрузки, когда концы могут свободно перемещаться в осевом направлении, как в случае эа - дачи о потере устойчивости, работа, совершаемая внешней: осевой нагрузкой при упругом изменении длины оси, обращает в нуль только упомянутую выше энергию осевой упругой деформации в уравнениях, следующих из принципа возможной работы, и поэтому принято опускать оба этих члена. [33]
Здесь она вся была сведена к одному принципу возможных работ, и все остальное было лишь простым аналитич. Принцип возможных работ гласит: если мы, отвлекаясь от текущего времени, рассмотрим в данный момент какую-либо механич. [34]
Простейший способ использования принципа возможной работы для определения этих пяти неизвестных состоит в задании отношения е / ес; как постоянной величины, что соответствует случаю, когда цилиндрическая оболочка нагружается сжимающей силой в жесткой испытательной машине. UR / h, а отсюда, так как длина оболочки остается неизменной, следует, что внешняя осевая сжимающая сила не будет совершать работу на возможных перемещениях таких, которые обусловлены малыми изменениями пяти неизвестных. Отсюда, согласно принципу возможной работы, частные производные от выражения для. [35]
Принцип возможной работы состоит из двух полностью эквивалентных) принципов: принципа возможных перемещений и принципа возможных сил. Их называют в литературе по-разному. Первый принцип иногда называют собственно принципом возможной работы, второй - принципом возможной дополнительной работы или также принципом Кастильяно. [36]
Если же используются неортогональные ряды, то выражение энергии деформации будет содержать, кроме квадратов, еще и произведения неизвестных, и уравнения возможной работы будут в общем случае содержать все, или по крайней мере более одной, низвестные, и тогда требуется решать систему уравнений. Это значительно увеличивает трудности и ограничивает число членов, которое практически Можно использовать. При использовании подобных методов в - задачах для пластин и оболочек, особенно в случае, когда краевые условия отличаются - от условий свободного опирания или прогибы не малы по сравнению с толщиной и поэтому должна использоваться нелинейная теория, уравнения, вытекающие из принципа возможной работы ( которые часто представляют единственный. Релея) или в лучшем случае несколько членов, и при этом может оказаться трудным указать, насколько точная аппроксимация при этом достигается. Близость аппроксимации в этом случае зависит, конечйо, от того, насколько точно с помощью одной или нескольких выбранных функций. Хотя в случае задач о балках такие случаи либо встречаются редко, ли - j6o имеют другие, более приемлемые решения, эти вопросы можно в сильной степени прояснить путем простых иллюстраций на задачах о балках. [37]
Принцип возможной работы является очень мощным инструментом и широко применяется при расчете конструкций. Однако перед тем, как перейти к использованию этого принципа, важно отметить две его особенности. Первая состоит в том, что возможные деформации или возможные перемещения должны быть совместимыми с условиями на опорах конструкции и не должны нарушать сплошности конструкции. С этой единственной оговоркой возможное изменение формы конструкции ( его не следует путать с изменением формы конструкции, обусловленным действием реальных нагрузок) совершенно произвольно. Вторая заключается в том, что, проследив, как формулируется принцип, легко обнаружить отсутствие во всех рассуждениях какого-либо упоминания свойств материала конструкции. Следовательно, принцип возможной работы применим ко всем конструкциям независимо от того, как ведет себя материал: линейно или нелинейно, упруго или неупруго. [38]