Cтраница 3
Каждый из операторов Ап очевидным образом вполне непрерывен и преобразует весь конус К в свою компактную часть. Из принципа Шаудера вытекает, что каждый оператор Ап имеет по крайней мере одну неподвижную точку хп. [31]
В силу принципа Шаудера или принципа Тихонова продолженный оператор D имеет по крайней мере одну неподвижную точку. [32]
Доказанная теорема по сути является теоремой о неподвижной точке. В отличие от принципа Шаудера здесь не требуется выпуклость множества М, кроме того указанное инвариантное множество - аттрактор, обладает свойством устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости. Существенным является характер поведения движений в окрестности границы множества М - требование существования оболочки, которую покидают за конечное время все начинающиеся в ней движения. [33]
Существуют другие условия топологич. Наиболее известным из них является принцип Шаудера. Пусть X - банахово пространство и F. [34]
Для доказательства достаточно рассмотреть оператор iAx - - f на каком-либо шаре х - / Ц Ро и заметить, что при малых ц он преобразует этот шар в себя. После этого остается сослаться на принцип Шаудера неподвижной точки. [35]
Отметим, что если компактный оператор А определен в шаре с центром в нулевом элементе и радиусом г гильбертова пространства H. Ах, х) ( х, х) x - г, то для него справедлив усиленный принцип Шаудера. [36]
Наконец, в § 6 результаты § 3 демонстрируются на примере га-мильтоновой системы, модифицированной добавлением лагранжевых сил, удовлетворяющих условию полной диссипации. Асимптотические представления для решений линеаризованной системы затем распространяются и на решения исходной нелинейной системы с помощью применения принципа Шаудера в банаховом пространстве вектор-функций с нормой, определяемой асимптотикой реше - НЕЙ линеаризованной системы. [37]
В этих условиях неподвижная точка есть, но инвариантных отрезков, вообще говоря, нет. Поэтому ясно, что обобщение на бесконечномерный случай, если такое обобщение можно указать, не может быть основано иа непосредственном применении принципов неподвижной точки типа принципа Шаудера или принципа Тихонова - нужны новые топологические теоремы. [38]
Как мы видели выше, основное предположение в методе малого параметра заключается в том, что одно периодическое решение уже известно, и изучается вопрос о существовании других периодических решений в его окрестности. Однако в реальных задачах далеко не всегда известно периодическое решение, даже более того - при конструировании новых систем возникает задача обеспечения существования периодического решения. Критерии существования периодических решений могут быть получены из принципа Шаудера и принципа сжатых отображений, однако эти принципы могут быть применены при весьма жестких условиях на правые части системы. [39]
А заключается в оты-шии инвариантных для А выпуклых множеств Т с. Если такие ожества существуют и если их удается найти, то в большинстве чаев остается применить принцип Шаудера или принцип Тихо-ва. Построение инвариантных множеств иногда требует специаль-х конструкций, но в основных случаях не требует преодоления хих-либо трудностей. [40]
При этом наиболее хорошо изученным классом уравнений вида ( 1) является класс уравнений с вполне непрерывным оператором F. Именно это свойство типично для обыкновенных дифференциальных уравнений с линейным обыкновенным дифференциальным оператором С и локальным оператором ( оператором Немыцкого) F, который при естественных предположениях вполне непрерывен ( сокр. Свойство полной непрерывности оператора позволяет продуктивно использовать для исследования разрешимости уравнений различные принципы неподвижных точек, вытекающие из принципа Шаудера или основанные на методе монотонных операторов. [41]
А идут вперед, а элементы с большим: нормами - назад. Пусть конус К не только нормален, но, боле того, норма монотонна. Тогда оператор А оставляет инвариантны. Если А вполне непрерывен, то существование непс движной точки вытекает из принципа Шаудера. [42]