Cтраница 3
Пусть X - функциональное, вообще говоря, векторное пространство, G - некоторое множество из X. Говорят, что на множестве G задан функционал I ( х), если каждому элементу к е G ставится в соответствие по определенному закону единственное вещественное число. Разность Их х - ж 01 называется приращением или вариацией аргумента х ( Л функционала / ( л: 101), а выражение Д / / ( я) - / ( х а) называется приращением функционала. [31]
Поэтому при оптимальном управлении направление движения изображающей точки такое, что векторы if и х ортогональны. Вспомогательный вектор обеспечивает нужное направление движения изображающей точки в фазовом пространстве. При доказательстве принципа максимума используется не обычная, а так называемая игольчатая вариация функции управления. Приращение функционала качества при этом бесконечно малое, и обращается оно в нуль, если вариация рассматривается относительно оптимального управления. Из этого условия выводится принцип максимума. [32]
Входящие в постановку задачи функционалы Fi [ и () ] обычно имеют разный физический смысл и разные размерности; задача допускает очевидное эквивалентное преобразование Ft - ж, которое, не меняя совершенно существа дела, имеет самые серьезные последствия с точки зрения фактического хода процесса поиска. Вопрос о разумной нормировке задачи ( о выборе чисел xf) тесно связан со следующим: какие приращения функционалов & р следует считать равноценными. Ответ может быть примерно таким: те, которые порождены одинаковыми вариациями управления; именно это соображение и будет использовано. Другое соображение состоит в том, что эти равноценные приращения функционалов должны выражаться числами одного порядка. [33]
Траектории частицы в оптике соответствует световой луч, а поверхности равного действия - волновой фронт. Волновой фронт является огибающей частичных волновых фронтов, расходящихся от точек, которые лежали на поверхности волнового фронта в предшествующий момент времени. Различие заключается в том, что в задачах динамики мы имеем дело с приращением функционала действия, а в задачах оптики - с приращением времени. [34]
Приращение функционала АФ - - Ф [ у ( х) - - 8у ] - - Ф [ у ( х ] есть величина, зависящая от двух функций: у ( х) и & у. Если & / Ф [ у ( х) ] № ожно представить в виде суммы линейного относительно 6г / функционала Fnvm. & y [ y ( x), & у ] и бесконечно малой величины порядка выше первого по отношению к J5s / jmax ( максимальному значению модуля функции 8у), то главную, линейную относительно & у, часть приращения функционала называют вариацией функционала. [35]