Cтраница 3
Дело в том, что, как и во многих других областях современной математики, прогресс здесь достигается благодаря введению новых представлений и выработке ясных формулировок там, где их ранее не было. В случае уравнений Максвелла проливается свет на их геометрическую природу. U ( l), SU ( 3) ] занимают центральное место в современной физике частиц, и их геометрическая интерпретация в указанном выше смысле может действительно сыграть отнюдь не второстепенную роль в окончательном понимании значения этих теорий. [31]
Данный параграф посвящен системам множеств специального вида - комбинаторным геометриям. Комбинаторные геометрии, будучи множествами упорядоченными, имеют и чисто геометрическую природу - они могут быть получены как инцидентностная моделизация аксиом классической геометрии. Допустимость алгебраических формализации обеспечивает удобство оперирования с этими объектами, а многоплановость самого понятия - их высокую применимость. [32]
Задачей векторного исчисления является составление формальных правил, согласно которым, с целью уменьшения умственной работы, можно было бы также вести счет с векторами как с числами. Однако, соответственно геометрическому определению вектора и эти правила исчисления должны иметь геометрическую природу. Эти правила покоятся на произвольных допущениях, которые, однако, приноровлены к потребностям геометрии, механики, математической физики и техники. Надо заметить, что уже доказана невозможность перенести все правила исчисления с числами на исчисление с векторами в пространстве. [33]
Если единственное ограничение представляет собой уравнение вроде х 20 или 2xi 20, то пространство решений состоит всего из одной точки, в нашем случае х 20 и х 10 соответственно. Задачи линейного программирования могут включать в себя ограничения, заданные как в виде уравнений, так и в виде неравенств, однако геометрическая природа таких задач станет отчетливей, если мы уделим основное внимание неравенствам. [34]
Нам важно, однако, рассмотреть не ошибки, а достижения Эйнштейна. Ни одно открытие, сделанное за последние 50 лет, не внесло столько принципиально нового в развитие наших представлений о природе пространства, времени и тяготения, как открытие геометрической природы гравитации, сделанное Эйнштейном и представленное им Прусской Академии наук 50 лет назад. Эйнштейн показал, что геометрия нашего физического мира-динамическая геометрия, и вывел закон изменения геометрии во времени. Чтобы выразить главную идею Эйнштейна четче, чем это сделано в названии его теории Общая теория относительности, мы можем определить другими словами то, что он создал: Эйнштейн дал нам геометродинамику. [35]
Тот факт, что Грисс смог выполнить все построение вручную, свидетельствует не только о его замечательной интуиции и решительности, но доказывает также, что группа Flf именуемая монстром, на самом деле допускает некоторую естественную геометрическую интерпретацию, отражением которой является достаточная регулярность ее внутреннего строения. Удовлетворительное объяснение геометрической природы группы FI, связанной некоторым, пока неизвестным образом с ав-томорфными формами, бесконечномерными алгебрами Ли и / или алгебраической геометрией, безусловно, остается одной из наиболее интригующих проблем о простых группах, не затронутых классификацией. [36]
В укороченной форме термин фуллерены ( fullerenes) стал употребляться для обозначения всего класса. Имя удачно подчеркивает геометрическую природу кластерных молекул, роднящую их со специфическими архитектурными объектами. Впрочем, в популярной литературе применяются и менее официальные имена, например, buckyball для С6о или rugbyball для С7о, который действительно похож на мяч для регби. [37]
Применения вариационного принципа к теории электромагнитного поля связаны с интегрированием в четырехмерном пространстве-времени. Рассмотрим поэтому сначала такое интегрирование в его геометрическом аспекте. Действительно, оно может производиться по объектам различной геометрической природы: по четырехмерному объему, по какой-либо трехмерной гиперповерхности, по двумерным поверхностям и, наконец, вдоль одномерных кривых. [38]
Так, например, всякая ( полилинейная) функция одной, двух и большего числа переменных, определенная на векторном пространстве и принимающая значения в основном поле, задает внешнюю линейную систему. Такие внешние линейные системы имеют, как правило, геометрическую природу. [39]
В настоящем лараграфе мы даем классификацию перестроек общего положения торов Лиувилля, возникающих в тот момент, когда тор пересекает критический уровень интеграла энергии. Оказывается, такие перестройки распадаются в композиции некоторых канонических перестроек четырех типов и эти последние явно описывают и имеют простую геометрическую природу. При этом мы, в частности, развиваем некоторые идеи, высказанные С. [40]
Если повернуть координатные оси X, У, Z относительно тела, оставляя углы между ними прямыми, то моменты инерции / х, / у, / z, вообще говоря, изменятся. Однако их сумма останется той же самой, так как она равна 20, а величина 0 не зависит от ориентации координатных осей. Таким образом, сумма моментов инерции / х, / у, Iz относительно любых трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через одну точку, зависит только от положения этой же точки и не меняется с изменением ориентации осей. Более глубокая геометрическая природа этого утверждения раскрывается в тензорной алгебре. [41]
Два отрицательных азеотропа или один отрицательный азеотроп и высококипящий компонент, не входящий в состав этого азеотропа, обусловливают появление впадины. Точка касания отвечает седло-винному или положительно-отрицательному азеотропу. В соответствии с геометрической природой седловины давление ( или температура) в точке седловинного азеотропа не должна быть ни самым большим, ни самым малым в системе. Следовательно -, сед-ловинные азеотропы не имеют экстремума температуры или давления. Такой азеотроп впервые был обнаружен Райндерсом и де Минье [148] при исследовании системы ацетон - хлороформ - вода. [42]
Критерии подобия, вошедшие в уравнение (1.5), состоят из двух групп относительных величин. Их введение вызвано следующим обстоятельством. Чаще всего встречаются параметрические критерии геометрической природы, выражающие условия геометрического подобия систем, в которых про-исходит рассматриваемый процесс. Аналогичным образом параметрические критерии физической природы выражают условие подобия соответствующих полей. [43]
Метод молекулярной динамики, а также метод Монте-Карло показали геометрический характер перехода между упорядоченной и однородной фазами, что явилось подтверждением эмпирического закона Линдемана, который описывает плавление широкого класса веществ. В первоначальной своей формуле закон Линдемана сводился к утверждению, что плавление вещества начинается тогда, когда объем твердого тела увеличится примерно на 30 % по сравнению с объемом в плотноупакованном состоянии при О К. Закон Линдемана обычно записывают через отношение потенциальной энергии для максимального смещения атома к его кинетической энергии, аппроксимируя движение атома гармоническим приближением и выражая упругую постоянную через температуру Дебая. Такой подход, однако, затемняет геометрическую природу фазового перехода, так как может сложиться впечатление, что такой переход может произойти в системе с чисто гармоническими силами. [44]
Необходимость в едином изложении курсов алгебры, линейной алгебры и геометрии ощущалась давно. Смысл алгебраического понятия может иметь теоретико-числовую или геометрическую природу, а зачастую его корни лежат в вычислительных аспектах математики и в решении уравнений. Возникающие из такого исторического понимания принципы и требования, предъявляемые к современному университетскому учебнику по алгебре, стали общепринятыми. Вся трудность падает на реализацию более или менее известных идей. Естественная эволюция стандартных программ - то в сторону объединения курсов линейной алгебры и многомерной аналитической геометрии, то в сторону их разделения и вкрапления элементов теории чисел в курс алгебры - нашла отражение на страницах предлагаемого Введения в алгебру, написанного на базе упомянутого одноименного учебника, но сильно расширенного и разбитого для удобства читателя на три части. Само собой разумеется, что объединение этих частей заведомо содержит устойчивое ядро указанных курсов - тот минимум, которому должен удовлетворять всякий учебник. На этот порядок, равно как и на принцип подачи материала, наложили свой отпечаток не только здравый смысл, но и мудрый совет Горация: Надо сегодня сказать лишь то, что уместно сегодня. [45]