Cтраница 1
Проблема Гильберта привлекала внимание многих выдающихся математиков, но тем не менее в общем случае, когда дано уравнение с двумя или многими неизвестными, требуемый алгоритм так и не был найден. Более того, недавно ( в конце 1969 г.) молодой ленинградский математик Ю. В. Матиясевич доказал, что такой алгоритм никогда не будет найден и в будущем. Однако точный смысл этого пессимистического, на первый взгляд, прогноза станет ясным читателю лишь позднее из дальнейшего изложения. [1]
Среди проблем Гильберта, сформулированных на рубеже XIX и XX столетий, особое место занимает третья проблема - единственная, связанная с методикой преподавания элементарной математики. В ней Гильберт ставит вопрос, можно ли отказаться от предельного перехода в выводе формулы объема треугольной пирамиды и ограничиться только методом равносоставленности. [2]
Обычно проблему Гильберта интерпретируют следующим образом: Какое максимальное число предельных циклов может иметь полиномиальное векторное поле степени п на плоскости. Первый вопрос здесь такой: Верно ли, что любое индивидуальное полиномиальное векторное поле на плоскости имеет конечное число предельных циклов. В 1923 г. Дюлак опубликовал большой мемуар, в котором было доказано, что ответ на этот первый вопрос положителен; для краткости это утверждение называют теоремой конечности. В 1980 г. мемуар Дюлака был переведен ( горьковскими математиками старшего поколения) на русский язык и снабжен восторженным предисловием, в котором говорилось, что это, быть может, лучшая работа по качественной теории дифференциальных уравнений за последние 50 лет. [3]
Ослабленная 16-я проблема Гильберта. [4]
Естественное перенесение проблемы Гильберта ( см. [1-3]) о предельных циклах для полиномиальных векторных полей на плоскости на случай дискретного времени предполагает рассмотрение диффеоморфизма фазовой плоскости и его итераций. По существу здесь необходимо ответить на два вопроса: Чем заменить условие полиномиальнос-ти векторных полей в классической проблеме Гильберта о предельных циклах. [5]
В общем случае 10-я проблема Гильберта долго оставалась нерешенной и только в 1970 г. ленинградский математик Ю. В. Матиясевич доказал неразрешимость ее. [6]
Примером может служить 10-я проблема Гильберта, состоящая в построении алгоритма, к-рый позволил бы для любого заданного многочлена с целыми коэффициентами узнать, существуют ли целые значения переменных, обращающие этот многочлен в нуль. Многие массовые проблемы долгое время не поддавались решению; впоследствии оказалось, что трудность их решения имеет принципиальный характер. [7]
Первая половина 16 - й проблемы Гильберта относится к алгебраическим кривым. Сам Гильберт и несколько последующих поколений математиков очень эффективно ее продвинули. Вторая половина относится к предельным циклам дифференциальных уравнений. [8]
Гостехиздат, 1948; Болтянский В. Г. Третья проблема Гильберта. [9]
В результате мы приходим к обобщению проблемы Гильберта о предельных циклах в следующем виде: верно ли, что в дискретном случае для систем вида а) число классов разбиения б) конечно. [10]
Именно с такими системами связана знаменитая 21-я проблема Гильберта, которая была им сформулирована в 1900 г. Она четко и ясно сформулирована следующим образом: Показать, что всегда существует линейное дифференциальное уравнение фуксова типа с заданными особыми точками и с заданной монодромией. [11]
Установленное следствие показывает, что решение третьей проблемы Гильберта не зависит от того, будем ли мы понимать равносоставленность в смысле - равносоставленности или - равносоставленности. Именно последний аспект ( - равносоставленность) мы будем иметь в виду в следующем параграфе, посвященном решению третьей проблемы Гильберта. [12]
Проблема остановки сводима к 10 - й проблеме Гильберта. [13]
Существует ли алгоритм, о котором говорится в проблеме Гильберта, не известно, но, как мы увидим позже, такой алгоритм может существовать для специальных классов диофантовых уравнений. Диофантовы уравнения могут не иметь решения. [14]
В заключение - несколько слов о связи с восемнадцатой проблемой Гильберта. Она состоит в отыскании многогранников, конгруэнтными копиями которых можно заполнить все пространство без перекрытий ( см. [2], стр. Заполнение пространства Rs многогранниками будем называть G-паркетажем, если каждые два из этих многограников G-конгруэнтны. [15]