Cтраница 3
В 1904 г. была опубликована защищенная в Париже докторская диссертация С. Н. Бернштейна [58], целью которой явилось решение 19 - й проблемы Гильберта об аналитической природе решений общих эллиптических уравнений. [31]
Замысел Колмогорова состоял в том, чтобы употребить сферы Милнора для доказательства непредставимости функции многих переменных суперпозициями в 13 - й проблеме Гильберта ( вероятно, для алгебраических функций), но ни каких-либо его публикаций на эту тему, ни формулировок его гипотез я не знаю. [32]
Задача нахождения общей разрешающей процедуры для решения таких диофантовых уравнений была впервые поставлена Давидом Гильбертом в 1990 г. и стала известна как 10-я проблема Гильберта. Проблема оставалась открытой до 1971 г., когда было доказано, что такой разрешающей процедуры существовать не может. [33]
Я сегодня расскажу о положительных результатах, которых довольно много, и о том, как идеи из разных областей математики входили в исследование проблемы Гильберта. [34]
Все эти задачи, нетривиальные уже на прямой ( N 1), возникают при исследовании бифуркаций предельных циклов в связи с вопросом 16 - й проблемы Гильберта об оценке их числа. [35]
В работе Брикара [9], датированной 1896 годом ( см. § 15), содержится доказываемая ниже теорема 20, принадлежащая Дену и дающая решение третьей проблемы Гильберта. Однако приведенное в [9] доказательство некорректно. Таким образом, работа [9] фактически не содержит никаких результатов, но она, видимо, оказала определенное влияние на Гильберта и Дена. [36]
Общая теория компактных групп создана П о н т р я г и н ы м в работе [2], где, в частности, получается и решение проблемы Гильберта для этих групп. [37]
В книге автора [6] приведено наиболее простое доказательство теоремы Дена, основанное на идеях швейцарской школы геометров, а также изложение наиболее важных результатов, связанных с третьей проблемой Гильберта. [38]
Q - многочлены от ж, у данной степени [ например, yh, у: Н ( х, у ] / г, скажем, при Н у2 х3 - х ] - инфинитези-мальный вариант вопроса 16 - й проблемы Гильберта о циклах. [39]
Известная третья проблема Гильберта состояла в доказательстве того, что многогранники равного объема могут не быть равнососта-влены. Это значит, что один из них нельзя разрезать на меньшие многогранники и сложить из них другой многогранник. Для многоугольников на плоскости ситуация иная: если два многоугольника равновелики ( имеют равную площадь), то они равносоставлены. [40]
При всей громоздкости рассмотренного выше алгоритма его существование является важным обстоятельством. Ведь для проблемы Гильберта о диофантовых уравнениях согласно теореме Ю. В. Матиясевича невозможен никакой алгоритм. А между тем обнаружение алгоритма, пусть и громоздкого, может подать надежду на его улучшение или создание более удобных алгоритмов. [41]
Программа Гильберта показала жизненную силу математики конца девятнадцатого века, она находится в резком контрасте с теми пессимистическими взглядами, какие были в конце восемнадцатого столетия. Теперь некоторые из проблем Гильберта рещены, другие все еще ждут окончательного решения. [42]
В различных областях математики возникают проблемы, в к-рых требуется найти единую механич. Примером может служить 10-я проблема Гильберта, состоящая в построении алгоритма, к-рый позволил бы для любого заданного многочлена с целыми коэффициентами узнать, существуют ли целые значения переменных, обращающие этот многочлен в нуль. Многие массовые проблемы долгое время не поддавались решению и оказалось, что трудность их решения имеет принципиальный характер. [43]
В 1900 г. на съезде математиков Гильберт в ряду других актуальных проблем поставил задачу, которая мало кому показалась актуальной. Речь идет о знаменитой второй проблеме Гильберта - доказать состоятельность системы аксиом арифметики. Система аксиом называется состоятельной, если она непротиворечива и полна. В свете теории Геделя следует сузить формулировку второй проблемы Гильберта и исследовать непротиворечивость системы аксиом арифметики вместо ее состоятельности. Если система непротиворечива, то она не полна. Последнее не означает, что такой системой аксиом нельзя пользоваться. Поскольку она непротиворечива, то все сделанные с ее помощью выводы справедливы для любых объектов, описываемых этой системой. Коль скоро необходимые выводы получены и цель исследования достигнута, исследователю совершенно не существенно то, что среди не относящихся к исследованию положений скрываются и недоказуемые. [44]
Теперь я расскажу о так называемой инфинитезимальной проблеме Гильберта, которая возникает, когда мы пытаемся облегчить себе задачу. [45]