Cтраница 3
Кроме того, реализация формул ( 16) сама по себе требует большого числа действий. В каждой точке i приходится один раз обратить матрицу и сделать два умножения матриц порядка М, что требует 0 ( М3) арифметических действий. По указанным причинам ( большой объем памяти и значительное число арифметических действий) матричную прогонку сравнительно редко применяют для решения задач математической физики. Однако в тех случаях, когда матрицы А, Вг, Ct невысокого порядка ( небольшое число точек по направлению лг2), необходимый объем памяти и число действий резко сокращаются и метод можно рекомендовать для практического использования. [31]
Леверье, Рэлея, Ритца, Бубнова-Галеркина, методы итераций и гармонических коэффициентов влияния. В задачах о продольных колебаниях стержней и поперечных колебаниях балки и пластины используется метод собственных функций. Для приближенного определения собственных частот и собственных форм применяются схема Лагранжа, методы последовательных приближений, конечных разностей, матричной прогонки, конечных элементов и асимптотический метод определения высокочастотных колебаний. В разделе, посвященном теории удара, предлагаются задачи о соударении шаров и продольном соударении стержней. Здесь применяются теория Герца и теория Сирса. При исследовании задачи о продольных колебаниях стержня с массами на концах под действием ударной силы студенты выводят обыкновенные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом и численно их интегрируют. [32]
На каждом шаге итерационного процесса (V.88) необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений, являющуюся разностным аналогом трехмерного эллиптического уравнения. Для ее решения целесообразно использовать метод линейной последовательной релаксации с корректирующим уточнением, который был описан выше. Возникающая при этом система линейных уравнений с пятидиагональной матрицей при небольшом числе ячеек по одному из направлений может быть решена методом матричной прогонки. Прогоночные матрицы являются постоянными для каждой краевой задачи и не требуют пересчета на каждом слое. В более общем случае целесообразно применять метод точечной или линейной верхней релаксации или неявный метод переменных направлений со стандартным набором оптимальных итерационных параметров. [33]
Однако оказалось, что итерационный процесс сходится медленно и тем медленней, чем меньше р и Е0 и чем больше QjQma - В результате на расчет одного варианта требовалось время порядка 40 - 60 мин. Оказалось, что ошибка, возникающая в процессе счета, пренебрежимо мала. Метод матричной прогонки позволил рассчитать один вариант на ЦВМ Минск-2 за 7 - 10 мин. [34]
Для конструкции в виде последовательно сопряженных разнотипных элементов применяют различные методы строительной механики. При расчете по методу сил ( перемещений) порядок системы алгебраических уравнений относительно неизвестных перемещений ( усилий) в сопряжениях элементов пропорционален числу таких сопряжений. При относительно большой длине меридиана конструкции, когда влияние краевых условий не сказывается на противоположном краю, в решении системы уравнений накапливается погрешность, вызванная появлением малых разностей больших чисел и ограниченной разрядностью машинного числа. Для сохранения требуемой точности вычислений могут быть применены варианты матричной прогонки. [35]
Для достижения хорошей точ-иоети решения нужно брать h достаточно малым. При решении системы столь высокого порядка общими методами, например методом исключения Гаусса, нужно выполнить около / Ve ( Wa) 3 арифметических операций. Это время можно сократить до 20 - 30 мин, если воспользоваться методом матричной прогонки ( см. [24], с. ЮО - 102), учитывающим специфику матрицы разностной задачи ( ее триди-агональность); этот метод требует - JV4 операций. [36]