Cтраница 3
С математической точки зрения красивее и естественнее считать интервал [ 0, р ] не отрезком прямой, а кольцом, и понимать поля и прочие величины как функции на кольце, однозначные для бозонов и двузначные для фермионов. Этот язык Эквивалентен языку периодических продолжений. [31]
Например, периодически продолжим функцию, изображенную сплошной линией на рис. И, и аппроксимируем ее тригонометрическим рядом Фурье. Этот ряд сходится в каждой точке, но неравномерно, ибо периодическое продолжение у ( х) разрывно. Если же мы положим у0 ( х) х, то функция у ( х) - уа ( х), изображенная пунктиром на рис. 11, имеет непрерывное периодическое продолжение, и ее ряд Фурье сходится к ней равномерно. Скорость сходимости ряда при этом также возрастает. [32]
Вычислив у и приравняв ее нулю, мы могли бы определить точное положение этих перегибов. После построения графика функции на промежутке [ 0; 2п ] можно периодическим продолжением получить график на всей оси и станет видно, что в точках xQ и х - 2я функция имеет минимум. [33]
Вопрос о разложении начальных данных в ряд по функциям ( 11 25) есть хорошо изученный вопрос о разложении функции в двойной ряд Фурье по синусам. Если начальные данные после нечетного продолжения по х и по у на прямоугольник х а, у Ь и периодического продолжения на всю плоскость представляют собой четырежды непрерывно дифференцируемые функции, то коэффициенты разложений ( 6 25) достаточно быстро стремятся к нулю для того, чтобы ряд ( 7 25) допускал двукратное дифференцирование. Таким образом, в этом случае метод Фурье для решения данной задачи является полностью обоснованным. Мы видим, что произвольное колебание мембраны так же, как и колебание струны, может быть представлено как наложение ряда простых, так называемых собственных, колебаний, соответствующих собственным значениям пт. [34]
Если функция / ( х) задана в промежутке а х Ь, то для разложения этой функции в ряд Фурье можно рассматривать периодическое продолжение функции f ( х) различными способами. [35]
Если мы ее продолжим периодически с периодом 2л, она будет непрерывной на всей оси Ох. Условимся в дальнейшем называть функцию с периодом 2л непрерывной периодической функцией в том и только в том случае, когда она остается непрерывной и после ее периодического продолжения; если же / ( х) непрерывна только на некотором отрезке длины 2я, но в его концах имеет разные значения, а следовательно становится разрывной, если ее продолжить периодически ( см. рис. 4 на стр. [36]
Однако в 2.4 было показано, что система синусов обладает плохими аппроксимативными свойствами. Это значит, что сходимость последовательных приближений, полученных любым проекционным методом с помощью этой системы, будет сравнительно медленной при сколь угодно гладких, но не допускающих гладкого периодического продолжения данных задачи. В силу этого мы рассмотрим и другую систему, лишенную этого недостатка. [37]
Продолжим функцию f с полуинтервала [ - л, л) периодически на всю вещественную ось. Это, правда, может привести ( в случае, когда определена в точке л и / ( - л) 4 / ( л)) к изменению значения функции в одной точке х л, однако, поскольку коэффициенты Фурье функции определяются е помощью интегралов (55.6), то это не приведет к их изменению, и, следовательно, ряды Фурье данной и продолженной функции совпадают. Отметим, что при таком периодическом продолжении непрерывность функции /, если она была непрерывна, вообще говоря, нарушается. [38]
Ряд Фурье может быть применен для представления не только периодических сигналов, но и сигналов конечной длительности. При этом оговаривается временной интервал, для которого строится ряд Фурье, а в остальные моменты времени сигнал считается равным нулю. Для расчета коэффициентов ряда такой подход фактически означает периодическое продолжение сигнала за границами рассматриваемого интервала. [39]
Для этого нужно продолжить периодически соответствующее потенциальное возмущение с одного интервала на всю ось. Действительно, каждый уровень системы на отдельном интервале расплывается в разрешенную зону при периодическом продолжении. Сдвиг одного такого уровня вызывает сдвиг и соответствующей спектральной зоны. [40]
Тогда видно, что поверхность Ферми, например, второй энергетической зоны является поверхностью, которая выделяет в пространстве волновых векторов область перекрытия двух соседних сфер. Поэтому, чтобы построить поверхность Ферми для некоторой энергетической полосы, зону Бриллюэна можно выбрать относительно любой точки обратного пространства, так как при периодическом продолжении все равно получится полная поверхность Ферми. Пример простого кубического кристалла изображен на рис. 16.7, где показана поверхность Ферми для второй энергетической зоны. Поверхность Ферми первой энергетической зоны отделяет области, расположенные внутри одной сферы, от областей, не попадающих внутрь сфер вообще. Эта поверхность имеет огранку алмаза с несколько вогнутыми гранями. [41]
Например, периодически продолжим функцию, изображенную сплошной линией на рис. И, и аппроксимируем ее тригонометрическим рядом Фурье. Этот ряд сходится в каждой точке, но неравномерно, ибо периодическое продолжение у ( х) разрывно. Если же мы положим у0 ( х) х, то функция у ( х) - уа ( х), изображенная пунктиром на рис. 11, имеет непрерывное периодическое продолжение, и ее ряд Фурье сходится к ней равномерно. Скорость сходимости ряда при этом также возрастает. [42]
Но если можно для организации материи создать шкалу ценностей, то следует признать, что организация живой материи значительно выше. Хотя шифр организации живого вещества, как и у кристалла, закодирован в одной молекуле ( правда, по масштабам неживой природы - огромной), принцип построения не имеет ничего общего с простым периодическим продолжением. [43]