Cтраница 3
Таким образом, является ковариантнсй производной на допустимых векторах и, в частности, определяет параллельный перенос допустимых векторов вдоль допустимых кривых по прямой аналогии обычным определением. Так как Р - ортогональный проектор, очевидно, что для у выполняется основное ссотношение римановых связностей ( А. [31]
Установите, что верно и обратное: любой самосопряженный оператор проектирования является ортогональным проектором. [32]
Dk подпространство, натянутое на эти элементы, и через Ph - - ортогональный проектор на Dh. Так как ип - 0 и оператор Ph компактен, то Р ип - О при п - оо. [33]
Из формулы (1.12.15) следует тогда, что Р - ортогональный проектор. Если ut - унитарный эндоморфизм, то это рассуждение не проходит - хотя по-прежнему верно, что Р является ортогональным проектором, - нужно как-то изменить метод доказательства. [34]
Основное заключение состоит в том, что спектральное разложение, выражаемое соотношениями ( 9.1 1.4) - ( 9.1 1.6), возможно для тех компактных эндоморфизмов и, которые нормальны в том смысле, что и и и перестановочны. Ясно, что это условие существенно, так как всякий эндоморфизм и, предста-вимый в виде суммы (9.11.4), где PU - перестановочные ортогональные проекторы, очевидно, нормален. [35]
Если ввести в множестве S ( Я) всех ограниченных линейных операторов в Я операции сложения, умножения на число и умножения операторов, а также норму оператора, по обычным правилам ( см. Линейные операторы) и определить инволюцию в 35 ( Я) как переход к сопряженному оператору, то 35 ( Я) становится банаховой алгеброй с инволюцией. Эти классы операторов хорошо изучены; основным инструментом в их изучении являются простейшие из ограниченных самосопряженных операторов, а именно: операторы ортогонального проектирования, или ортогональные проекторы, часто называемые просто проекторами. [36]
Таким образом, ортогональный проектор Р на V коммутирует с переносами и умножениями на функции. Однако любой оператор, коммутирующий с умножениями, сам является умножением на некоторую функцию р и коммутирует с переносами, только если р - константа. Но этот оператор является ортогональным проектором на ненулевое подпространство. [37]
Алгебра 21 ( В) является также слабо замкнутой алгеброй, порожденной семейством В, ибо, согласно следствию XVI 1.3. 17, равномерно замкнутая и слабо замкнутая алгебры, порожденные полной булевой алгеброй проекторов, совпадают. В - полная булева алгебра ортогональных проекторов. [38]
Мы показали, что каждое векторное подпространство L в Е допускает дополнение и что это дополнение, вообще говоря, не единственно. Позже ( в § 1.12) мы увидим, что в пространстве Е со скалярным произведением из всех дополнений к L естественно выделяется одно, а именно ортогональное к L. Соответствующий проектор определяется тогда однозначно подпространством L, как ортогональный проектор. В общем случае такой выбор невозможен. [39]
Рассмотрим теперь среди всех ненулевых проекционных операторов в R2 такой оператор Р, для которого ранг произведения Р - Р принимает наименьшее значение. Существование такого оператора Р обеспечивается тем, что ранг РгР2 конечен. В самом деле, если бы Р можно было представить в виде Р - - Р, где Р и Р - ортогональные проекторы из R2, то хотя бы один из операторов Р Р, Р Р имел ранг меньше, чем Р Р, что невозможно. [40]