Проекция - угловой момент
Cтраница 3
Сохраняющейся величиной, или свойством, называется величина, не изменяющаяся во времени. Примерами такой величины являются полная энергия системы ( первый закон термодинамики), угловой момент электрона в атоме или проекция углового момента на межъядерную ось в двухатомной молекуле. Сохраняющаяся величина называется также интегралом движения. [31]
Из ( 18 10) следует, чго в свободном пространстве и в любом центрально-симметричном поле интегралом движения является проекция момента на произвольное направление. Если внешнее поле имеет аксиальную симметрию, то оператор Гамильтона инвариантен лишь по отношению к вращению вокруг аксиальной оси симметрии и сохраняется только проекция углового момента на эго направление. [32]
Из ( 18 10) следует, чго в свободном пространстве и в любом центрально-симметричном поле интегралом движения является проекция момента на произвольное направление. Если внешнее, поле имеет аксиальную симметрию, то оператор Гамильтона инвариантен лишь по отношению к вращению вокруг аксиальной оси симметрии и сохраняется только проекция углового момента на эго направление. [33]
Следует, однако, отметить, что в особых состояниях несколько физических величин могут иметь одновременно некоторые избранные значения даже в том случае, когда их операторы не коммутируют. Так, например, в состояниях с угловым моментом, равным нулю, равны нулю одновременно и все три его проекции, хотя операторы проекций углового момента не коммутируют между собой ( см. ( 7 13)) В общем же случае, при отличном от нуля угловом моменте, три его проекции не имеют одновременно определенных значений. [34]
Однако произведения Ч не являются собственными функциями оператора Я. Для нахождения возможных неприводимых представлений DV входящих в разложение исходного представления, выписывают, руководствуясь правилом (3.42), ( 2 / 1 1) ( 2 / 2 1) собственных значений проекции углового момента. [35]
Прежде всего надо позаботиться о правильном описании состояний невозмущенной системы, в которой имеется единственный Sd-электрон в поле тетраэдрической симметрии. Эта орбиталь не будет точно З - симметричной ( приложение II), так как сферическая симметрия теперь нарушена; при этом согласно теории групп ( приложение III) имеющееся 5-кратное орбитальное вырождение состояний с разными проекциями углового момента ML 2, 1, О, - 1, - 2 будет сниматься. Если взять в качестве базисных состояний Sd-орбитали свободного иона, то нетривиальные представления тетраэдрической группы будут осуществляться действительными линейными комбинациями dz, d - yt ( - представление) или комбинациями dyz, dzx, dxy ( Г - представление); при этом предполагается, что четыре лиганда располагаются в углах куба, определяющего координатную систему. В вариационном расчете оказывается, что дваждывырожденное представление Е имеет меньшую энергию. Смешение рассмотренных Зс ( - орбиталей свободного иона служит хорошей иллюстрацией нарушения сохранения углового момента при потере сферической симметрии; для любой действительной волновой функции имеем нулевое значение проекции углового момента вдоль любой выбранной оси. [36]
Ранее указывалось, что электрон обладает спиновым угловым моментом, а вследствие этого спиновым магнитным моментом. Спин может иметь две ориентации, обозначаемые а и 3, по отношению к некоторому выбранному направлению. Эти ориентации соответствуют проекциям углового момента mslr, ms / 2 - Это значит, что спиновый магнитный момент может иметь две ориентации по отношению к приложенному магнитному полю. [37]
Разные значения т / соответствуют орбиталям с различными орнентацнями орбитального углового момента. Орби-таль с mi0 имеет нулевую проекцию углового момента на ось z, по этой причине ее называют р - орбиталью; на рис. 14.3 и 14.6 показан ее вид, который говорит о том, что электрон собран в заводи вдоль оси г, на что указывает плотность штриховки на этой диаграмме. В этом случае существует узловая плоскость, пересекающая ячро в плоскости ху, и вероятность найти электрон в этой плоскости равна нулю. [38]
Цель специализированной CAB состоит в том, чтобы полностью автоматизировать процесс нахождения аналитических соотношений (1.26), (1.27) на ЭВМ. Коэффициенты разложения исходного оператора энергии молекулы - полиномы по МП (1.14), при нахождении S-генераторов (1.22) возникают частотные знаменатели, таким образом, функции / в (1.27) для многоатомных молекул являются дробно-рациональными. Специализированная CAB предполагает, следовательно, преобразование на ЭВМ дробно-рациональных выражений и реализацию операций некоммутативной алгебры боэонных операторов рождения и уничтожения, а также проекций углового момента. [39]
В качестве невозмущенной волновой функции пу п & электронов можно выбрать просто произведение волновых функций изолированных ионов. Поскольку перекрытие предполагается пренебрежимо малым, при вычислении матричных элементов не нужно антисимметризовать это произведение относительно перестановок электронов между ионами. В случае ионов с более сложной электронной структурой приходится вычислять несколько кривых потенциальной энергии, соответствующих различным составным волновым функциям системы двух ионов, которые можно построить. Они могут соответствовать, например, разным значениям полного электронного спина и проекции углового момента на ось, проведенную через ядра. [41]
YI, з действительно удовлетворяют дифференциальному уравнению, которое определяет сферические гармоники. Yim - собственная функция оператора 1г, соответствующая собственному значению mft. Докажите, что решения в виде стоячих волн Уг, m Уг, - т являются собственными функциями оператора длины углового момента, но соответствуют состояниям с нулевой проекцией углового момента на ось г ( как и следует ожидать для стоячих волн) и не являются собственными функциями оператора 1г ( см. разд. [42]
Прежде всего надо позаботиться о правильном описании состояний невозмущенной системы, в которой имеется единственный Sd-электрон в поле тетраэдрической симметрии. Эта орбиталь не будет точно З - симметричной ( приложение II), так как сферическая симметрия теперь нарушена; при этом согласно теории групп ( приложение III) имеющееся 5-кратное орбитальное вырождение состояний с разными проекциями углового момента ML 2, 1, О, - 1, - 2 будет сниматься. Если взять в качестве базисных состояний Sd-орбитали свободного иона, то нетривиальные представления тетраэдрической группы будут осуществляться действительными линейными комбинациями dz, d - yt ( - представление) или комбинациями dyz, dzx, dxy ( Г - представление); при этом предполагается, что четыре лиганда располагаются в углах куба, определяющего координатную систему. В вариационном расчете оказывается, что дваждывырожденное представление Е имеет меньшую энергию. Смешение рассмотренных Зс ( - орбиталей свободного иона служит хорошей иллюстрацией нарушения сохранения углового момента при потере сферической симметрии; для любой действительной волновой функции имеем нулевое значение проекции углового момента вдоль любой выбранной оси. [43]
Обычно / х называют оператором вращательного или кориолисова взаимодействия. Чтобы пояснить сказанное, рассмотрим в чисто классическом представлении взаимодействие атомных частиц Л и В, и пусть для простоты в системе А-В имеется всего лишь один электрон. На рис. 5.3 представлены траектории частиц Л и В в плоскости XY неподвижной системы координат. При движении частиц межъядерная ось R поворачивается в плоскости XY с угловой скоростью со; как о, так и угловой момент J направлены вдоль оси Z. Движение электрона квазимолекулы АВ со скоростью е изображено круговой орбитой, плоскость которой перпендикулярна оси R. Q - проекция углового момента j электрона на межъядерную ось, / х-компонента этого момента вдоль J. Если перейти в подвижную систему координат, вращающуюся вместе с осью R ( а она и есть молекулярная система координат), то на электрон в этой системе будет действовать сила Ко-риолиса fK 2m [ vea ], изображенная в верхней и нижней точках траектории электрона. Момент этих сил будет стремиться повернуть плоскость орбиты электрона относительно оси, образуемой пересечением плоскости XY и плоскости орбиты. [44]
Страницы: 1 2 3