Cтраница 2
Отображение h, сопоставляющее точке А на плоскости Р точку д ( f ( Л)) на плоскости 5, называют произведением отображения f на отображение д и обозначают gof. Отображение, которое производится первым, пишется справа. [16]
Декартовым произведением F ( A, B) Y F ( A, С) двух совокупностей отображений из Л в В и из Л в С называется множество всевозможных декартовых произведений отображений из этих множеств. Элемент а из Л под действием f переходит в пару ( Ыа), / 2 ( а)), принадлежащей декартову произведению множеств В и С. Программы отображений из декартова произведения являются конкатенациями программ отображений - сомножителей. [17]
Если впредь нам понадобится доказать, что некоторые взаимно-однозначные отображения, обладающие тем или иным отличительным свойством, образуют группу, то можно не заниматься проверкой, во-первых, ассоциативности и, во-вторых взаимной однозначности произведения отображений или обратных отображений. Необходимо проверить лишь, обладает ли произведение отображений отличительным свойством интересующего нас множества отображений. [18]
С другой стороны, если даны отображения /, : Y - Z и гомотопия 9: f - / i между ними, то можно образовать горизонтальное произведение 0 о 0: f о f - д о д, которое является гомотопией между произведениями отображений. Однако вертикальное произведение двух гомотопий ( р 9, в котором в используется при 0tl / 2 a ( p при 1 / 2 t 1, оказывается неассоциативным. Чтобы получить категорию, мы должны использовать в качестве 2-клеток классы гомотопий гомотопий. Горизонтальное умножение при этом коммутирует с вертикальным. [19]
В этом параграфе используются следующие основные понятия; отображение одного множества в другое, преобразование множества, образ элемента и множества, полный прообраз элемента и множества, вложение ( инъектиеное отображение), взаимно однозначное ( биективное) отображение, наложение ( сюръективное отображение), произведение отображений, обратное отображение, линейное преобразование плоскости, аффинное преобразование, образ вектора при линейном преобразовании, линейное преобразование векторной плоскости, симметрия плоскости относительно прямой, симметрия плоскости относительно точки, гомотетия, параллельный перенос плоскости, сжатие к прямой с коэффициентом k, ортогональное преобразование, главные направления аффинного преобразования, собственные векторы линейного преобразования векторной плоскости. [20]
В этом параграфе используются следующие основные понятия: отображение одного множества в другое, преобразование множества, образ элемента и множества, полный прообраз элемента и множества, вложение ( инъективное отображение), взаимно однозначное ( биективное) отображение, наложение ( сюръективное отображение), произведение отображений, обратное отображение, линейное преобразование плоскости, аффинное преобразование, образ вектора при линейном преобразовании, линейное преобразование векторной плоскости, симметрия плоскости относительно прямой, симметрия плоскости относительно точки, гомотетия, параллельный перенос плоскости, сжатие к прямой с коэффициентом k, ортогональное преобразование, главные направления аффинного преобразования, собственные векторы линейного преобразования векторной плоскости. [21]
Нетрудно понять смысл операции умножения прямоугольных матриц. RP, н-азывается произведением отображений и Я. Легко видеть, что s & % является линейным отобрдже-нием Rn в RP и что если отображению отвечает [ р Хт ] - матрица Л, а отображению - [ т X ] - мат-рица В, то матрицей отображения s & & будет pXn - матрица АВ. [22]
Если впредь нам понадобится доказать, что некоторые взаимно-однозначные отображения, обладающие тем или иным отличительным свойством, образуют группу, то можно не заниматься проверкой, во-первых, ассоциативности и, во-вторых взаимной однозначности произведения отображений или обратных отображений. Необходимо проверить лишь, обладает ли произведение отображений отличительным свойством интересующего нас множества отображений. [23]
Следует подчеркнуть, что эти операции комбинирования сложения и умножения применяются к секретным системам в целом. Произведение двух систем TR не следует смешивать с произведением отображений в системах TtRj, которое также часто используется в настоящей работе. Далее, в то время как сумма двух систем pR gT является системой, сумма двух отображений не определена. Системы Т и R могут коммутировать, в то время как конкретные RJ и Ti не коммутируют. [24]
Точечное отображение Т отрезка полупрямой / / в себя получается I. Тг и Т2, т.е. отображение Т Т 7Т2 является произведением отображений Т1 и Тг. [25]
Последнее обозначение используется, главным образом, в тех случаях, когда рассматривается произведение отображений, ибо в книге принято, что фг з, где ф - отображение А в В, а - отображение В в С - это отображение А в С, определяемое равенством а ( фгр) ( аф) з или, что то же самое, равенством ( фф) ( а) ty ( р ( а)) для каждого а. Символ ф: А-В также используется для обозначения отображения множества А в множество В. Тождественное отображение множества А на себя обозначается через 1А Для обозначения мощности множества А используются обозначения Card Л и А. Символы N, Z, Q, R и С обозначают множества натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел соответственно. Как обычно, ссылка на теорему IV.2.3 означает, что имеется в виду теорема 3 из § 2 главы IV. Теорема 2.3 подразумевает теорему 3 из § 2 той же главы, а теорема 3 -теорему 3 из того же параграфа. [26]
Эта запись выглядит как ассоциативный закоп, по это чисто внешнее сходство. Если ф: А - / 3, то легко проверяется справедливость равенств 1Лр Ф ф.в. Ассоциативность произведения отображений формулируется следующим образом. [27]
Очевидно соотношение, а a % a a %, и, таким образом, сдвиги образуют группу, изоморфную аддитивной группе пространства А. Произведение отображений оЬ также является отображением из А в В. Каждое такое отображение называется аффинным отображением векторных пространств. [28]
Ясно, что произведение диух взанмко-однозначиых отображений множества Н на себя также-является отображением этого множества на себя. Необходимо лишь доказать, что произведение взаимно-однозначно. Но это н означает, что произведение отображений 8 и Т взаимно-однозначно. Следовательно, произведение отображений также порождает взаим-но-одноэначное отображение множества на себя. [29]
Коммутативность определяется и для более сложных диаграмм. Грубо говоря, она означает, что результат последовательного перемножения отображений по пути, ведущему из одной вершины в другую, не зависит от выбора этого пути. Язык диаграмм часто позволяет выразить более наглядно те или иные высказывания, касающиеся произведений отображений. [30]