Cтраница 3
Множество Ма, соответствующее входу а сети, будет интерпретироваться как множество всех возможных сообщений на этом входе; как правило, оно будет состоять из сообщений длины k одной из компонент ДМИБП. Функции / описывают операции кодирования или декодирования; мы будем называть их просто кодерами. Используя эту рекуррентную процедуру, каждой вершине Ь глубины 1 можно сопоставить составную функцию / J, заданную на прямом произведении множеств М, соответствующих некоторым входам а. В частности, функции f, соответствующие выходным вершинам с, описывают отклик сети на произвольный вектор входных сообщений. [31]
На этом мы завершаем рассмотрение оснований теории множеств. В этой главе мы попытались построить формальную аксиоматическую теорию множеств, в аксиомах которой мы зафиксировали все основные и вполне очевидные требования к множествам. Придерживаясь строгих правил языка ZF, мы сумели определить в рамках теории множеств практически все основные математические понятия такие, как отношение, функция, отображение, прямое произведение множеств, натуральные числа и прочее. [32]
Такая конструкция с эйлеровой характеристикой бывает для каких-то задач полезной, но для исходной задачи о числах Ходжа-Делиня в зеркальной симметрии нужно рассматривать не только эйлерову характеристику, но и другие меры, аддитивные и мультипликативные. Есть способ, который позволяет определить наиболее общую аддитивную и мультипликативную функцию на конструктивных подмножествах. Этот способ состоит в следующем. Рассмотрим все полуалгебраические множества и построим группу Гротендика, образующими которой являются эти полуалгебраические множества. На эти полуалгебраические множества нужно наложить некоторые соотношения. С точки зрения инвариантов группа Гротендика К - это та самая группа, в которой принимает значение самая обобщенная эйлерова характеристика, какая только может быть, потому что группа Гротендика К - это универсальный объект для всех аддитивных гомоморфизмов алгебры полуалгебраических множеств. Группа К является также и кольцом: прямое произведение множеств задает в / С структуру кольца. [33]