Cтраница 1
Свободное произведение двух алгебр над полем А пред-ставимо только в том случае, когда каждая из них совпадает с А. [1]
Свободное произведение двух или более неединичных групп неразложимо в прямое произведение двух или более неединичных групп. [2]
Свободное произведение определяется двойственно. [3]
Свободное произведение S T при 5 Г 1 не транзитивно, а в остальных случаях транзитив-но ( справа и слева); в частности, свободная полугруппа ранга 1 транзитивна с обеих сторон. Коммутативная полугруппа [0-] транзитивна тогда и только тогда, когда она является [0-] группой. [4]
Прямое и свободное произведения групп являются мальцевскими. [5]
Свободным произведением групп G, G2 с объединенной подгруппой ( объединением) А GI, G2 назьь вается такая группа G Gi dG2, что: 1) группы GI, GZ вложены в G, при этом G f ] G2 A, 2) G Gi G2, 3) любая пара гомоморфизмов ф: G - - Я, il, 2, в произвольную группу Я, совпадающих на А, однозначно продолжается до гомоморфизма ф: G - Я. [6]
Свободным произведением групп GI, G2 с объединенной подгруппой ( объединением) А Gb G2 называется такая группа G GI л G2, что: 1) группы GI, G2 вложены в G, при этом Gif ] G2 A, 2) G GbG2, 3) любая пара гомоморфизмов ф -: G - - - - Я, t l, 2, в произвольную группу Я, совпадающих на А, однозначно продолжается до гомоморфизма ф: G - - Я. [7]
Операция свободного произведения ассоциативна и коммутативна. [8]
Для свободных произведений справедливы двойственные результаты. [9]
Роль свободных произведений групп аналогична роли прямых произведений, хотя, в отличие от последних, понятие свободного произведения, существенно связанное с бесконечными группами, могло появиться лишь 5 огда, когда развитие общей теории групп достигло достаточно высокого овня. [10]
Присоединенная группа свободного произведения А алгебр Аа содержит свободное произведение присоединенных групп этих алгебр в качестве своей подгруппы. [11]
Поскольку в свободных произведениях с объединенной подгруппой и в ЯМ / У-расширениях также определены понятия нор мальной формы и длины, то можно ожидать, что метод Нильсена распространяется и на такие группы. [12]
Группа G - свободное произведение двух множителей с объединенной подгруппой тогда и только, тогда, когда G действует без инверсий на дереве X таким образом, что факторграф X / G есть отрезок v - w, состоящий из двух вершин и единственной пары ребер. [13]
Пусть G есть свободное произведение двух конечных подгрупп. Может ли G быть конечной группой. [14]
Для того чтобы свободное произведение N-групп было N - - группой, достаточно, чтобы эти группы были вложимы в присоединенные группы N-алгебр над полями одной и той же характеристики. [15]