Cтраница 2
В симплектическом пространстве определено коеоорто-гоналъное дополнение к линейному подпространству: оно состоит из всех векторов, кососкалярные произведения которых со всеми векторами подпространства равны нулю. Размерность косоортогонального дополнения также равна коразмерности исходного подпространства. Например, косоортогональное дополнение к прямой на плоскости - сама эта прямая. [16]
В симплектическом пространстве определено косо-ортогональное дополнение к линейному подпространству: оно состоит из всех векторов, кососкалярные произведения которых со всеми векторами подпространства равны нулю. Размерность косоортогонально-го дополнения также равна коразмерности исходного подпространства. Например, косоортогональное дополнение к прямой на плоскости - сама эта прямая. [17]
Скобкой Пуассона ( / i, / 2) функций / i и / 2 называется кососкалярное произведение их градиентов. [18]
В симплектическом пространстве определено косо-ортогональное дополнение к линейному подпространству: оно состоит из всех векторов, кососкалярные произведения которых со всеми векторами подпространства равны нулю. Размерность косоортогонально-го дополнения также равна коразмерности исходного подпространства. Например, косоортогональное дополнение к прямой на плоскости - сама эта прямая. [19]
Мнимая часть невырожденной эрмитовой формы в га-мерном комплексном пространстве, рассматриваемом как 2п - мерное вещественное, является кососкалярным произведением. [20]
Если рассматривать М как 2л - мерное вещественное многообразие, то g ReG задает евклидово скалярное, а о ImG - кососкалярное произведение в касательных пространствах. Эрмитова метрика G ваз. [21]
Симплектическая структура многообразия характеристик гиперповерхности симплектического многообразия определяется тем, что кососкалярное произведение любых двух векторов, касающихся гиперповерхности в исходном симплектическом многообразии, равно кососкалярному произведению их проекций на многообразие характеристик. [22]
Выше мы видели, что эрмитово скалярное произведение представляется в виде ( а, Ъ i ( a, Ь), где вещественная часть ( а, Ь) совпадает с симметричным евклидовым скалярным произведением, а мнимая часть ( а, Ь) совпадает с кососкалярным произведением. Ниже мы более подробно опишем взаимные включения и пересечения симплектических групп с другими основными матричными группами. [23]
Вектор, косоортогональный всему пространству, - нулевой. В этом состоит определение невырожденности кососкалярного произведения. Косоортогональное дополнение прямой - гиперплоскость, содержащая эту прямую. Обратно, косоортогональное дополнение гиперплоскости - прямая в ней. Вообще косоортогональное дополнение подпространства имеет дополнит, размерность. Два подпространства одинаковой размерности переводятся друг в друга преобразованием из С. В частности, любая прямая ( гиперплоскость) переводится в любую другую. [24]
Плоскость П является лагранжевой оскостью, что накладывает дополнительные ограничения на трицы А и В. Лагранжевость плоскости П означает, что по-рные кососкалярные произведения всех векторов баз са а. [25]
Касательное пространство в каждой точке симплектического многообразия является симплектическим векторным пространством. Условие замкнутости в определении симплектической структуры связывает кососкалярные произведения в касательных пространствах к соседним точкам таким образом, что локальная геометрия симплектических многообразии оказывается универсальной. [26]
Прямая сумма п симплектических плоскостей имеет симплектическую структуру: кососкалярное произведение векторов равно сумме площадей проекций натянутого на них ориентированного параллелограмма на п координатных плоскостей. [27]
Симплектические пространства одинаковой размерности симплектически изоморфны, то есть существует сохраняющий кососкалярные произведения изоморфизм между этими пространствами. [28]
Так, любая невырожденная билинейная косо-симметричная форма на V Е2ш задает симплектическую линейную структуру. Сама форма, часто обозначаемая [ х у ], называется еще кососкалярным произведением на V. Пара ( У, [ ]) называется симп-лектическим пространством. [29]
V, для которых LJ ( V, w) О, называются косоортогоналъными. Для любого подпространства симплектического пространства определено его косоортогоналъное дополнение, которое, в силу невырожденности кососкалярного произведения, действительно имеет дополнительную размерность, но, в отличие от евклидова случая, может пересекаться с исходным подпространством. Так, кососкалярный квадрат любого вектора равен нулю, поэтому косо-ортогональное дополнение прямой - гиперплоскость, содержащая эту прямую. Обратно, косоортогональное дополнение к гиперплоскости - прямая, совпадающая с ядром ограничения симплектической структуры на эту гиперплоскость. [30]