Cтраница 1
Производная аналитической функции сама является аналитической функцией. [1]
Даже производная аналитической функции первого рода обладает на R полюсами в точках ветвления поверхности. [2]
Можно доказать, что если производная аналитической функции J ( г) не равна нулю на области D, то множество значений G функции f ( z) также есть область. [3]
В заключение отметим, что любая производная искомой аналитической функции тоже может вычисляться некоторыми интегралами, содержащими только заданные значения действительной ( или мнимой) части функции на контуре области. [4]
Обратим внимание на следующую теорему: если производная аналитической функции f ( z) равна нулю всюду в области Q, то функция постоянна. [5]
В дальнейшем мы убедимся в том, что производная аналитической функции всегда является аналитической и, следовательно, непрерывной. [6]
Применяя интегральную формулу Коши, докажем, что производная аналитической функции также является аналитической функцией. [7]
Но тогда по теореме 1 настоящего пункта / ( z) как производная аналитической функции в свою очередь является функцией аналитической. [8]
Отображение, обладающее указанным выше свойством сохранения углов и постоянства растяжений, называется конформным отображением. Отсюда заключаем, что всякое отображение, устанавливаемое с помощью аналитической функции, будет конформным во всех точках, где производная аналитической функции отлична от нуля. [9]
Отображение одной плоскости на другую называется конформным в точке z, если все бесконечно малые дуги, выходящие из этой точки, при отображении поворачиваются па один и тот же угол и получают одно и то же растяжение. Иначе говоря, при конформном отображении сохраняется подобие в бесконечно малых частях. Отображение с помощью аналитической функции является конформным везде, кроме, быть может, точек, в которых производная данной аналитической функции равна пулю. [10]