Пространство - евклид
Cтраница 2
Утверждение о том, что современная наука родилась тогда, когда на смену пространству Аристотеля ( представление о котором было навеяно организацией и согласованностью биологических функций) пришло однородное и изотропное пространство Евклида, высказывалось довольно часто, и мы неоднократно повторяли его. [17]
Наряду с рассмотренными в приложении понятиями функционального анализа применяют и такие понятия, как метрика пространства, расстояние, норма вектора, проекция вектора и др. Наибольшее распространение получило использование пространств Евклида, Гильберта и Хемминга. [18]
Риманова геометрия, основные идеи которой были высказаны Риманом в его известной речи О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии ( 1854) 7, является широкой геометрической схемой пространства переменной кривизны. Пространства Евклида и Лобачевского - частные случаи римановых пространств, соответствующие случаям нулевой кривизны и постоянной отрицательной кривизны. Неевклидовым пространством Римана называют впервые рассмотренное этим ученым пространство постоянной положительной кривизны, обладающее большой аналогией с пространством Лобачевского. [19]
Понятие ортогональности в векторном пространстве Lji имеет простой наглядный смысл: именно условие ортогональности ( 1) означает, что скалярное произведение ( рт, уп) двух различных векторов из системы уп равно нулю. По аналогии с векторами в пространстве Евклида это означает, что векторы этой системы расположены ортогонально друг другу. Если уп - ортонормированная система, то ее элементы являются ортогональными единичными векторами. [20]
Понятие единичного вектора первой нормали, вводимое формулой (11.15.1), теряет смысл на геодезической линии, так как кривизна k ( i) обращается в нуль. Подобно этому лишено смысла говорить о главной нормали прямой в пространстве Евклида. Для последующего имеет, однако, значение введение в рассмотрение единичных нормальных t векторов с, параллельно переносимых вдоль траектории. [21]
В общих G-нространствах, в отличие от пространства Минковского, сфера не всегда выпукла. Перпендикулярность, определяемая через кратчайшие до геодезических, в отличие от пространства Евклида, не обязательно симметрична. В терминах G-пространств формулируются признаки, выделяющие пространства Евклида, сферическое пространство, пространство Минковского. [22]
Короче говоря, свойства расположения элементов на плоскости Римана и в пространстве Римана совпадают со свойствами расположения элементов на проективной плоскости и в проективном пространстве. Римана и в пространстве Римана столь же свободные, как на плоскости и в пространстве Евклида. Римана в малом совпадают с метрич. Точнее: для любой точки плоскости Римана существует содержащая эту точку часть плоскости, изометричная нек-рой части сферы; радиус R этой сферы - один и тот же для всех плоскостей данного пространства Римана. Свойства плоскости Римана в целом отличаются от свойств целой сферы; так, напр. Римана две прямые пересекаются в одной точке; на сфере два больших круга, к-рые играют роль прямых в еферич. Римана в малом совпадают с метрич. Точнее: для любой точки пространства Римана существует содержащая эту точку часть пространства, изометричная нек-рой части трехмерной сферы. Радиус этой сферы совпадает с величиной Я, к-рая упоминалась выше. [23]
Для общего случая многообразия, в котором метрика не может быть задана всюду определенным линейным элементом, А. Д. Александров дал ряд необходимых и достаточных условий погружаемости ( в виде выпуклой поверхности) как в целом, так и в малом. Этим самым были даны необходимые и достаточные условия, характеризующие внутреннюю метрику выпуклой поверхности в пространствах Евклида, Лобачевского и сферическом, не подчиненной никаким требованиям регулярности. [24]
В 1873 г. в упомянутой нами работе Клиффорда Предварительный очерк бикватернионов, значительная часть которой посвящена изучению геометрии неевклидова пространства Римана, было положено начало изучению механики и в этом пространстве. Теория бикватернионов Клиффорда в 1883 г. была перенесена на пространство Лобачевского Коксом 15, показавшим, что ту роль, которую в пространствах Евклида и Римана играют параболические и эллиптические бикватернионы, в пространстве Лобачевского играют гиперболические бикватернионы. [25]
Трехмерное пространство Евклида гомогенно, непрерывно, изотропно и бесконечно. В нем нет ни особых точек, а при отсутствии в нем тел - ни меток, ни реперов. Пространство Евклида совмещается само с собою при любых преобразованиях симметрии: отражениях в любых плоскостях симметрии, поворотах около любых прямых на любые углы, при трансляциях по любому направлению на отрезки любой длины, включая бесконечно малые переносы. Симметрия пространства Евклида полностью вырождена. Каждая точка пространства Евклида обладает симметрией шара. Сплошная упругая, изотропная среда ( например, плексиглас) является примером физического пространства с вырожденной симметрией. Поле ориентированных механических напряжений делает такую среду анизотропной и снимает вырождение. В неоднородном поле напряжений ( изгиб, кручение) характер и степень анизотропии меняются от точки к точке. В однородном поле ( растяжение, сдвиг) они одинаковы во всех точках среды, симметрия которой в этом случае определяется ее симметрией в одной точке. [26]
Структура флуктуации, приводящих к образованию вакуумной йлотности энергии (17.27), неизвестна. Тем не менее известен явный вид одного класса непертурбативных вакуумных флуктуации г-люонного поля, называемых инстантонами, которые, однако, дают лишь. Переход к пространству Евклида часто бывает удобен при рассмотрении процессов и квантовых состояний, в которых не происходит рождения реальных частиц. Особенно удобен он при изучении структуры вакуумного состояния. Заметим, в частности, что вакуумное среднее 0 F2 0 не меняется при переходе в евклидово пространство. [27]
В общих G-нространствах, в отличие от пространства Минковского, сфера не всегда выпукла. Перпендикулярность, определяемая через кратчайшие до геодезических, в отличие от пространства Евклида, не обязательно симметрична. В терминах G-пространств формулируются признаки, выделяющие пространства Евклида, сферическое пространство, пространство Минковского. [28]
 |
Несогласованное сочетание винтовой оси Зх с квадратной сеткой трансляций. [29] |
Трансляции размножают элементы симметрии кристаллического класса в семейство параллельных элементов симметрии ( см. рис. II.9) и преобразуют поворотные оси симметрии в винтовые, а зеркальные плоскости - в плоскости скользящего отражения. В результате из каждого кристаллического класса образуется несколько пространственных групп. Это значит, что помимо одного непрерывного и изотропного пространства Евклида существует 230 типов дискретных и анизотропных периодических пространств, представителями которых являются кристаллы. [30]
Страницы: 1 2 3