Cтраница 3
В самом деле, относительно декартовой системы координат справедливость последнего равенства легко доказать, если применить формулу ( ЗЛО) к каждому компоненту вектора U в отдельности. Затем из инвариантности выражения (3.14) и правой части формулы (3.15) очевидно, что эта формула имеет место относительно любой координатной системы. Нетрудно также убедиться, что формула (3.15) имеет место для любого тензора U произвольного ранга в пространстве Евклида. [31]
Трехмерное пространство Евклида гомогенно, непрерывно, изотропно и бесконечно. В нем нет ни особых точек, а при отсутствии в нем тел - ни меток, ни реперов. Пространство Евклида совмещается само с собою при любых преобразованиях симметрии: отражениях в любых плоскостях симметрии, поворотах около любых прямых на любые углы, при трансляциях по любому направлению на отрезки любой длины, включая бесконечно малые переносы. Симметрия пространства Евклида полностью вырождена. Каждая точка пространства Евклида обладает симметрией шара. Сплошная упругая, изотропная среда ( например, плексиглас) является примером физического пространства с вырожденной симметрией. Поле ориентированных механических напряжений делает такую среду анизотропной и снимает вырождение. В неоднородном поле напряжений ( изгиб, кручение) характер и степень анизотропии меняются от точки к точке. В однородном поле ( растяжение, сдвиг) они одинаковы во всех точках среды, симметрия которой в этом случае определяется ее симметрией в одной точке. [32]
Трехмерное пространство Евклида гомогенно, непрерывно, изотропно и бесконечно. В нем нет ни особых точек, а при отсутствии в нем тел - ни меток, ни реперов. Пространство Евклида совмещается само с собою при любых преобразованиях симметрии: отражениях в любых плоскостях симметрии, поворотах около любых прямых на любые углы, при трансляциях по любому направлению на отрезки любой длины, включая бесконечно малые переносы. Симметрия пространства Евклида полностью вырождена. Каждая точка пространства Евклида обладает симметрией шара. Сплошная упругая, изотропная среда ( например, плексиглас) является примером физического пространства с вырожденной симметрией. Поле ориентированных механических напряжений делает такую среду анизотропной и снимает вырождение. В неоднородном поле напряжений ( изгиб, кручение) характер и степень анизотропии меняются от точки к точке. В однородном поле ( растяжение, сдвиг) они одинаковы во всех точках среды, симметрия которой в этом случае определяется ее симметрией в одной точке. [33]
Риман построил и более общую геометрию, включающую и геометрию Лобачевского и эллиптическую геометрию, - так называемую риманову геометрию. Вслед за геометрией трехмерного пространства была построена геометрия многомерного евклидова пространства, а затем и многомерные геометрии Лобачевского-эллиптическая, проективная, аффинная и конформная. Изучение пространства - времени специальной теории относительности привело к геометрии псевдоевклидова пространства. Вслед за римановой геометрией, являющейся наиболее общей геометрией и совпадающей с евклидовой в бесконечно малом, появилась псевдориманова геометрия - наиболее общая геометрия, совпадающая в бесконечно малом с псевдоевклидовой геометрией; такой геометрией является геометрия пространства - времени общей теории относительности. Затем были созданы геометрии аффинной, проективной и конформной связности - наиболее общие геометрии, совпадающие в бесконечно мал ом соответственно с аффинной, проективной и конформной геометриями; с некоторыми из этих геометрий совпадают геометрии пространства - времени различных единых теорий поля. Далее, вслед за многомерной геометрией была построена геометрия бесконечномерного пространства, ставшая одним из основных методов функционального анализа, на котором основан математический аппарат квантовой физики. Кроме новых геометрий появились новые алгебраические системы - группы, кольца, поля, алгебры, - относящиеся к классическим числовым системам как новые многомерные пространства к классическому пространству Евклида, а затем и такие новые математические системы, которые не имеют классических аналогов. Все эти замечательные открытия, совершенно изменившие характер математики, смогли появиться только благодаря великому открытию Лобачевского. [34]