Cтраница 2
Прежде чем обратиться к общим пространствам с дважды транзитивными группами движений, мы рассмотрим примеры таких пространств непостоянной кривизны. Следующий параграф покажет, что они являются больше, чем только примерами: для случая компактных пространств они вместе со сферическими и эллиптическими пространствами исчерпывают псе пространства с днажды транзитивными группами движений. Для сравнения мы рассмотрим здесь также обыкновенное эллиптическое и гиперболическое пространства. Пусть К обо-значает поле вещественных или комплексных чисел или ( вещественных) кватернионов. [16]
Келеровы пространства К ( п 2), удовлетворяющие условиям ( 88), отличные от пространств постоянной голоморфной кривизны, не допускают нетривиальных бесконечно малых голоморфно проективных преобразований, сохраняющих комплексную структуру, а также групп Ли нетривиальных голоморфно проективных преобразований. [17]
Если пространство Кп допускает голоморфно проективное отображение на пространство Кп постоянной голоморфной кривизны, то Кп тоже является пространством постоянной голоморфной кривизны. [18]
Таким образом, мы видим, что для любого четного числа измерений большего двух существуют как компактные, так и некомпактные пространства непостоянной кривизны, обладающие дважды транзитивными группами движений. [19]
Нетрудно видеть, что уравнения ( 54) могут удовлетворяться тождественно относительно аи ( вследствие ( 37)) только для пространств Кп постоянной голоморфной кривизны, а ( 49) - для пространств Эйнштейна. Поэтому соотношения ( 54) для пространств Кп непостоянной голоморфной кривизны и ( 49) для неэйнштейновых пространств налагают на atj некоторое количество новых ( по сравнению с ( 37)) условий. В результате этого степень подвижности указанных классов пространств Кп относительно голоморфно проективных отображений понижается. [20]
Риманова геометрия, основные идеи которой были высказаны Риманом в его известной речи О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии ( 1854) 7, является широкой геометрической схемой пространства переменной кривизны. Пространства Евклида и Лобачевского - частные случаи римановых пространств, соответствующие случаям нулевой кривизны и постоянной отрицательной кривизны. Неевклидовым пространством Римана называют впервые рассмотренное этим ученым пространство постоянной положительной кривизны, обладающее большой аналогией с пространством Лобачевского. [21]
Подобные результаты могли бы получиться, если бы червь перемещался в пространстве одной и той же кривизны, причем эта кривизна, как целое, подвергалась бы изменениям в силу некоторого воздействия извне, или если бы пространство червя было бы пространством переменной кривизны, которое было бы также способно претерпевать во времени всякого рода изменения. Читатель может представить себе все эти случаи, предположив, что трубка сделана из гибкого материала. Червь может приписать изменение в степени сгиба или изменению характера пространства, или изменению его организма, не связанному с положением в пространстве. Мы приходим к заключению, что постулат об относительности положения не является необходимо обязательным для пространств одного измерения и переменного сгиба. [22]
Если келерово пространство Кп ( п 2) допускает нетривиальное голоморфно проективное отображение с сохранением комплексной структуры на пространство Кп, при котором для тензора ati, определенного формулами ( 45), выполняются условия ( 87), то Кп - пространство постоянной голоморфной кривизны. [23]
В настоящей работе рассматривается одна из наиболее часто обсуждающихся схем такого рода - теория квантованного пространства-времени. Случай пространства переменной кривизны [9] будет изложен в отдельной работе. [24]
К 0 длина Z кривой Г меньше 2л / У К Тогда в пространстве постоянной кривизны К сущест-пует выпуклая область V, мажорирующая Г, такая, что Ф ( 1) 6 для. Это свойство характеризует пространства кривизны: А. [25]
Леммы 1 и 2 получены в результате исследования первого дифференциального продолжения условий ( 56) и ( 54), которым должны удовлетворять искомые функции а. Поскольку на основании этих лемм для пространств Кп непостоянной голоморфной кривизны вектор Х; и инвариант а определяются через тензор al и внутренние геометрические объекты / С, степень подвижности г таких пространств относительно голоморфно проективных отображений понижается по крайней мере на п 1 по сравнению с пространствами постоянной голоморфной кривизны. [26]
Нетрудно видеть, что уравнения ( 54) могут удовлетворяться тождественно относительно аи ( вследствие ( 37)) только для пространств Кп постоянной голоморфной кривизны, а ( 49) - для пространств Эйнштейна. Поэтому соотношения ( 54) для пространств Кп непостоянной голоморфной кривизны и ( 49) для неэйнштейновых пространств налагают на atj некоторое количество новых ( по сравнению с ( 37)) условий. В результате этого степень подвижности указанных классов пространств Кп относительно голоморфно проективных отображений понижается. [27]
Если Н не зависит от выбора иа, то Vn назовем пространством постоянной квадратичной кривизны. Показать: 1) величина бивектора иа, обнесенного параллельно вдоль границы неособенного элемента поверхности иа Дог, характеризуется инвариантом Я, если ограничиться величинами, не превышающими четвертого порядка малости ( Дог О ( б2)); 2) любое Sn есть пространство постоянной квадратичной кривизны; 3) любое V3 постоянной квадратичной кривизны есть S3; 4) любое V4 постоянной квадратичной кривизны есть G4 ( A. [28]
Если же я 2, то V2 только тогда будет пространством постоянной кривизны, когда К const, условие же (8.4) всегда выполняется в этом случае. Из (8.4) следует, что Rany6 и К обращаются в нуль одновременно, и поэтому всякое плоское пространство представляет собой пространство нулевой римановой кривизны. При К 0 приходим к геометрии, обобщающей геометрию Лобачевского - Бояи, а / С 0 отвечает геометрии, аналогичной геометрии сферы. [29]
Предшественники Котельникова в области механики в неевклидовых пространствах не рассматривали вектор в этих пространствах как направленный отрезок и определяли его точкой приложения, направлением и величиной. По существу рассматриваемые ими векторы были векторами евклидова пространства, касательного к неевклидову пространству в точке приложения вектора; именно так и рассматриваются в настоящее время векторы риманова пространства переменной кривизны. [30]