Cтраница 1
Пространство Римана трехмерное ( D л-л и п т и ч е с к о е пространство) - замкнутое конечное двустороннее ( ориентируемое) пространство Эа. Моделью пространства Э3 в евклидовом пространстве Л 4 может служить гиперсфера радиуса г с отождествленными диаметрально противоположными точками. [1]
Что касается пространства Римана R ( p, re) Т ( р, re) / / ModT ( p, re), то в силу общейтеоремы А. Картана [112] это нормальное комплексное пространство. Оно имеет неуни-формизируемые особенности, вызванные, как показал Ра-ух [21 1], наличием поверхностей с нетривиальными группами конформных автоморфизмов. [2]
По-аналогии с пространством Римана Л ( Г) вводится также пространство Л ( А, G), представляющее собой множество классов сопряженных в Лг клейновых групп, квазиконформно эквивалентных группе G. При этом Л ( А, G) 74A, G) / Mod74A, G), где Modf ( A, G) - некоторая ( разрывная) группа голоморфных автоморфизмов Г ( А, G), так что Л ( А, GO - нормальное комплексное пространство. [3]
Переход от простого к и-кратному пространству Римана теперь очень прост. Подставим в ( 16) для А ( а) прежнее выражение ( 9а) и сохраним путь интегрирования, состоящий из двух петель С. [4]
Римановым пространством ( или пространством Римана) называется пространство аффинной связности без кручения, допускающее метрическую связность, совместную с аффинной связностью. [5]
В математической физике представление о пространстве Римана встречается в теории магнитного листка. Для магнитного потенциала стационарных токов роль линий разветвления играют несущие ток проводники ( которые мы представляем себе бесконечно тонкими); растянутый между ними магнитный листок представляет разрез и соответствует в оптическим случае нашему экрану. [6]
Эти комплексные числа являются эллиптическими в случае пространства Римана, гиперболическими в случае пространства Лобачевского и параболическими в случае пространства Евклида. [7]
Далее Клиффорд рассматривает винты в евклидовом пространстве и в неевклидовом пространстве Римана и определяет отношение этих винтов, аналогичное определенному Гамильтоном отношению векторов. [8]
Пространство jR ( S) 74D / Mod J4D, называемое пополненным пространством Римана, служит компактифи-кацией пространства Римана R ( S) - T ( D / Mod Г ( Г) Это компактное хаусдорфово пространство, являющееся нормальным комплексным пространством и даже проективным алгебраическим многообразием. Оно совпадает с пространством модулей Мр стабильной алгебраической кривой рода р ( см., например, В. [9]
Короче говоря, свойства расположения элементов на плоскости Римана и в пространстве Римана совпадают со свойствами расположения элементов на проективной плоскости и в проективном пространстве. Римана и в пространстве Римана столь же свободные, как на плоскости и в пространстве Евклида. Римана в малом совпадают с метрич. Точнее: для любой точки плоскости Римана существует содержащая эту точку часть плоскости, изометричная нек-рой части сферы; радиус R этой сферы - один и тот же для всех плоскостей данного пространства Римана. Свойства плоскости Римана в целом отличаются от свойств целой сферы; так, напр. Римана две прямые пересекаются в одной точке; на сфере два больших круга, к-рые играют роль прямых в еферич. Римана в малом совпадают с метрич. Точнее: для любой точки пространства Римана существует содержащая эту точку часть пространства, изометричная нек-рой части трехмерной сферы. Радиус этой сферы совпадает с величиной Я, к-рая упоминалась выше. [10]
Таким образом, пространство Евклида может быть получено предельным переходом и из пространства Римана и из пространства Лобачевского при стремлении кривизны к нулю. Геометрию пространств Римана, Лобачевского и Евклида называют также эллиптической, гиперболической и параболической геометрией. [11]
Пространство jR ( S) 74D / Mod J4D, называемое пополненным пространством Римана, служит компактифи-кацией пространства Римана R ( S) - T ( D / Mod Г ( Г) Это компактное хаусдорфово пространство, являющееся нормальным комплексным пространством и даже проективным алгебраическим многообразием. Оно совпадает с пространством модулей Мр стабильной алгебраической кривой рода р ( см., например, В. [12]
В 1873 г. в упомянутой нами работе Клиффорда Предварительный очерк бикватернионов, значительная часть которой посвящена изучению геометрии неевклидова пространства Римана, было положено начало изучению механики и в этом пространстве. Теория бикватернионов Клиффорда в 1883 г. была перенесена на пространство Лобачевского Коксом 15, показавшим, что ту роль, которую в пространствах Евклида и Римана играют параболические и эллиптические бикватернионы, в пространстве Лобачевского играют гиперболические бикватернионы. [13]
Многообразие, на котором определена метрика при помощи положительно определенной квадратичной формы вида (7.1), называется р имановым много об разием или пространством Римана п измерений. Тензор gik называется метр и-чески м тензором пространства Римана. Евклидово пространство п измерений является частным случаем риманова многообразия. В нем существует система координат, относительно которой Компоненты метрического тензора принимают постоянные значения. [14]
Отсюда, кроме того, следует, с одной стороны, что решение Кирхгофа и все его аналитические продолжения можно однозначно представить только в пространстве Римана с бесконечным числом листов, а с другой стороны, что в теории Кирхгофа экран совершенно непрозрачен для падающей волны, но совершенно прозрачен для рассеянных волн. [15]