Пространство - риман
Cтраница 2
Изложенные результаты Котельникова представляют собой реализацию мыслей Клиффорда, намеченных в его Предварительном очерке бикватернионов, о винтах неевклидова пространства, причем если Клиффорд имел в виду только пространство Римана, то теория Котельникова в равной степени относится и к пространству Римана, и к пространству Лобачевского. [16]
Если п четно, то единственным движением сферы S без неподвижных точек является центральная симметрия, переводящая каждую точку сферы в диаметрально противоположную; фактордространство Sn / T по группе Г, порожденное этим движением, есть пространство Римана ( эллиптич. Были классифицированы трехмерные с. [17]
Изложенные результаты Котельникова представляют собой реализацию мыслей Клиффорда, намеченных в его Предварительном очерке бикватернионов, о винтах неевклидова пространства, причем если Клиффорд имел в виду только пространство Римана, то теория Котельникова в равной степени относится и к пространству Римана, и к пространству Лобачевского. [18]
Пусть пространство Римана имеет только одну прямую неограниченную линию разветвления, которую мы выберем ва ось г. Пусть это пространство состоит из п экземпляров пространства ( листов), расположенных таким образом вокруг линии разветвления, что после я-кратного обхода вокруг нее мы возвращаемся в исходную точку. [19]
Таким образом, пространство Евклида может быть получено предельным переходом и из пространства Римана и из пространства Лобачевского при стремлении кривизны к нулю. Геометрию пространств Римана, Лобачевского и Евклида называют также эллиптической, гиперболической и параболической геометрией. [20]
 |
Сложение векторов в неевклидовом пространстве. [21] |
Котельников показал, что система сил неевклидова пространства, находящихся в одной плоскости, всегда эквивалентна одной силе. При этом в пространстве Римана всегда получается обычная сила, а в пространстве Лобачевского в случае сложения сил, направленных по параллельным или расходящимся прямым, может получиться сила, направленная по прямой, касающейся абсолюта, или по идеальной прямой. [22]
Короче говоря, свойства расположения элементов на плоскости Римана и в пространстве Римана совпадают со свойствами расположения элементов на проективной плоскости и в проективном пространстве. Римана и в пространстве Римана столь же свободные, как на плоскости и в пространстве Евклида. Римана в малом совпадают с метрич. Точнее: для любой точки плоскости Римана существует содержащая эту точку часть плоскости, изометричная нек-рой части сферы; радиус R этой сферы - один и тот же для всех плоскостей данного пространства Римана. Свойства плоскости Римана в целом отличаются от свойств целой сферы; так, напр. Римана две прямые пересекаются в одной точке; на сфере два больших круга, к-рые играют роль прямых в еферич. Римана в малом совпадают с метрич. Точнее: для любой точки пространства Римана существует содержащая эту точку часть пространства, изометричная нек-рой части трехмерной сферы. Радиус этой сферы совпадает с величиной Я, к-рая упоминалась выше. [23]
Римана - как эллиптический бикватернион. Основная часть работы посвящена геометрии пространства Римана: в ней впервые рассматриваются так называемые параллели Клиффорда и поверхности Клиффорда в этом пространстве. [24]
Винты а и р называются соответственно правой и левой стрелками винта А. Стрелки винта вещественны в случае пространства Римана и мнимо сопряжены в случае пространства Лобачевского. Поэтому векторы стрелок во многом аналогичны свободным векторам евклидова пространства. [25]
Лобаческого рассматривать только собственные прямые, то одной прямой будут соответствовать два винта, так как из двух взаимных поляр в этом пространстве одна - собственная, а другая - идеальная. В то же время в случае пространства Римана паре взаимных поляр соответствуют четыре винта. Поэтому, рассматривая ориентированные прямые ( лучи), мы получаем взаимно однозначное соответствие между лучами неевклидовых пространств и единичными винтами. [26]
Многообразие, на котором определена метрика при помощи положительно определенной квадратичной формы вида (7.1), называется р имановым много об разием или пространством Римана п измерений. Тензор gik называется метр и-чески м тензором пространства Римана. Евклидово пространство п измерений является частным случаем риманова многообразия. В нем существует система координат, относительно которой Компоненты метрического тензора принимают постоянные значения. [27]
Как мы указывали выше, свойство однородности галилеева пространства проявляется в преобразованиях, оставляющих без изменения выражение для четырехмерного расстояния между двумя точками. В общем же случае геометрии Римана преобразований, оставляющих без изменения величины g, не существует, ибо пространство Римана не однородно. [28]
Вопрос о взаимном движении двух систем декартовых координат, изучаемый в этом разделе, является лишь частным случаем общей кинематической проблемы об относительном движении переменного координатного базиса. Обобщая свойства подвижного координатного базиса ( репера), мы получаем возможность исследовать геометрические свойства пространств более общего вида, чем пространства Римана. Эти вопросы и им родственные в значительной мере выходят за пределы настоящего курса. [29]
Пространства постоянной кривизны могут иметь весьма разнообразное строение в смысле топологии. Среди всех пространств постоянной отрицательной кривизны пространство Лобачевского однозначно выделяется двумя своими свойствами: 1) оно полно ( в смысле полноты метрнч. Пространство Римана среди всех пространств положительной кривизны одно-пначно выделяется свойством топологич. Аналогичными условиями выделяются многомерные пространства Лобачевского и Римана среди многомерных пространств постоянной рима - НС. [30]
Страницы: 1 2 3