Cтраница 3
Риманова геометрия, основные идеи которой были высказаны Риманом в его известной речи О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии ( 1854) 7, является широкой геометрической схемой пространства переменной кривизны. Пространства Евклида и Лобачевского - частные случаи римановых пространств, соответствующие случаям нулевой кривизны и постоянной отрицательной кривизны. Неевклидовым пространством Римана называют впервые рассмотренное этим ученым пространство постоянной положительной кривизны, обладающее большой аналогией с пространством Лобачевского. [31]
Этим он положил начало новому направлению, побудив физиков использовать неевклидово пространство. Частным случаем пространства, введенного Эйнштейном, является пространство Римана - пространство, которое может быть вложено в плоское пространство с большим числом измерений. [32]
При этом расстояние между точками сферы определяется как длина дуги большой окружности, соединяющей эти точки. Роль прямых в этой геометрии играют большие окружности. Но аналогия с евклидовыми прямыми нарушается тем, что в отличие от прямых, большие окружности пересекаются в двух ( диаметрально противоположных) точках сферы. Удобно отождествить диаметрально противоположные точки сферы и определить расстояние между точками с помощью кратчайшей из дуг. Получившееся при этом новое пространство постоянной положительной кривизны k называют эллиптическим пространством или пространством Римана. [33]
Короче говоря, свойства расположения элементов на плоскости Римана и в пространстве Римана совпадают со свойствами расположения элементов на проективной плоскости и в проективном пространстве. Римана и в пространстве Римана столь же свободные, как на плоскости и в пространстве Евклида. Римана в малом совпадают с метрич. Точнее: для любой точки плоскости Римана существует содержащая эту точку часть плоскости, изометричная нек-рой части сферы; радиус R этой сферы - один и тот же для всех плоскостей данного пространства Римана. Свойства плоскости Римана в целом отличаются от свойств целой сферы; так, напр. Римана две прямые пересекаются в одной точке; на сфере два больших круга, к-рые играют роль прямых в еферич. Римана в малом совпадают с метрич. Точнее: для любой точки пространства Римана существует содержащая эту точку часть пространства, изометричная нек-рой части трехмерной сферы. Радиус этой сферы совпадает с величиной Я, к-рая упоминалась выше. [34]
Лобачевский развил только следствия, вытекающие из видоизменения пятого требования Евклида. В отношении поверхностей это есть сферическая геометрия. Вместо евклидовских прямых линий мы имеем здесь большие круги сферы, которые все дважды пересекаются и каждая пара которых образует два сферических двуугольника. Возможность подобной геометрии в трехмерном пространстве ( с положительной мерой кривизны) впервые указал Риман. Ее, по-видимому, не допускал Гаусс, может быть, из пристрастия к бесконечности пространства. Действительно, рассмотрение этого случая ближе математику, чем физику. Гельмгольц обсуждает здесь только случай Евклида с мерой кривизны, равной нулю, и пространство Римана с положительной мерой кривизны. [35]