Cтраница 2
Такие пространства в римановой геометрии и в более общем случае пространства аффинной связности принято называть симметрическими, и их исследованию посвящен целый ряд работ ( см § 14), начатых П. А. Широковым ( 83) и с особой глубиной развитых в трудах Картана [183], установившего глубокую связь таких римановых многообразий с теорией групп Ли. [16]
Поня-тие параллельного перенесения вектора вдоль кривой на поверхности пространства привело к теории пространств аффинной связности. [17]
Определение геодезической линии, принятое нами в римановом пространстве, переносится на случай пространства аффинной связности в следующей формулировке: геодезическая линия есть кривая, для которой касательный вектор после параллельного переноса в любую точку остается касательным. [18]
Исследования, проводимые в этой главе, без особых затруднений могут быть распространены на пространства аффинной связности с кручением. [19]
Проективные параметры Томаса ( 11) и тензор Вейля ( 18) являются инвариантными относительно геодезических отображений геометрическими объектами пространств аффинной связности. [20]
Вследствие этого в случае геодезических отображений римановых пространств складывается ситуация, существенно отличающаяся от той, которую мы имели для пространств аффинной связности. [21]
Это, по существу, тензорный, а значит, инвариантный относительно выбора системы координат в Ап признак ( п - 2) - проективных пространств аффинной связности первого типа. [22]
Описанное выгпе обобщение рстманотюи геометрии называют аффинной геометрией; соответствующий параллельный перенос векторов называют аффинной связностью, а пространство, в котором этот перенос определен, - пространством аффинной связности. [23]
Таким был математик, уже завоевавший себе известность работами по анализу и только что вышедшей книгой о римановых поверхностях, которому предстояло в ближайшие пять лет буквально взорваться целым фейерверком работ по теории чисел ( равномерное распределение и оценки тригонометрических сумм), дифференциальной геометрии ( жесткость выпуклых поверхностей и пространства аффинной связности), обшей теории относительности ( новые решения уравнений теории), единой теории поля, основаниям математики и логике ( развитие интуиционизма и новый подход к кон. [24]
Так как, по определению, коварна нтная производная конструируется, если известны лишь компоненты объекта Гру ( х), называемые коэффициентами связности, безотносительно к тому, связан этот объект с метрическим тензором или нет, то имеется возможность ввести кова-риантыое дифференцирование для любого объекта вида Гру, что приводит к теории пространств аффинной связности, частным случаем которых являются многообразия Fn ( III. При этом, естественно, нет необходимости требовать, чтобы имела место симметрия объекта Гру по нижним индексам, что приводит к пространствам с кручением. [25]
Если некоторая из кривизн для кривой L тождественно равна нулю, то тождественно обращаются в нуль и все последующие кривизны этой кривой. Кривыми же пространств аффинной связности Ап, у которых тождественно равна нулю уже первая кривизна klt являются геодезические линии и только они. Поэтому геодезические линии в геометрии пространств аффинной связности играют роль, подобную прямым в евклидовом пространстве. [26]
Ап, допускают также геодезическое отображение друг на друга. Иначе говоря, множество всех пространств аффинной связности Ап, допускающих геодезическое отображение на данное пространство Ап, замкнуто относительно геодезических отображений. Оно носит название геодезического класса пространства Ап. Таким образом, два пространства, допускающие геодезическое отображение друг на друга, принадлежат одному геодезическому классу. [27]
Аффинное отображение пространства аффинной связности Ап на себя называется аффинным движением. За последние десятилетия в теории движений пространств аффинной связности различными авторами, особенно И. П. Егоровым, получено много глубоких результатов ( И. П. Егоров [1, 2], К. [28]
Из (7.2) следует, что если рассматривать пространство аффинной связности без кручения ( см. § 3), то все приведенное выше построение повторяется буквально. Я они получают приращения А а - бесконечно малые высшего порядка. [29]
Из (7.2) следует, что если рассматривать пространство аффинной связности без кручения ( см. § 3), то все приведенное выше построение повторяется буквально. [30]