Cтраница 3
Очевидно, Cf /, удовлетворяющие указанным выше условиям, определяют коммутативную нильпотентную третьей степени алгебру. Иначе говоря, каждой коммутативной нильпотентной третьей степени алгеброй определяется множество ( п - 2) - проектив-ных пространств аффинной связности Ап первого типа, зависящее от одной произвольной функции п переменных. [31]
Таким образом, специализированные римановы координаты называются нормальными координатами с началом в данной точке. Они были впервые введены Риманом [1], применены в теории относительности и теории пространств Vn, а затем обобщены для пространств аффинной связности рядом авторов ( [75]; [79], стр. [32]
Данная глава носит вводный характер. В ней приводятся без доказательства, но с необходимыми пояснениями, основные сведения из тензорного исчисления, римановой геометрии и теории пространств аффинной связности, которые систематически используются в дальнейшем. [33]
Первая глава носит вводный характер. В ней излагаются без доказательства, но с пояснениями, необходимые для дальнейшего сведения из тензорного исчисления, римано-вой геометрии, теории пространств аффинной связности. Глава рассчитана на читателей, не имеющих в данной области необходимой подготовки. [34]
Второму типу л2 принадлежат голоморфно проективные отображения келеровых пространств с сохранением комплексной структуры. В результате анализа основных уравнений почти геодезических отображений второго типа при некоторых дополнительных предположениях получена полная геометрическая характеристика отображений п2) исчерпывающее описание всех пространств аффинной связности, допускающих такие отображения, построены инвариантные относительно отображений я2 геометрические объекты. Можно сказать, что теория отображений л2 представляет собою обобщение классической геометрии почти комплексных многообразий. [35]
Если некоторая из кривизн для кривой L тождественно равна нулю, то тождественно обращаются в нуль и все последующие кривизны этой кривой. Кривыми же пространств аффинной связности Ап, у которых тождественно равна нулю уже первая кривизна klt являются геодезические линии и только они. Поэтому геодезические линии в геометрии пространств аффинной связности играют роль, подобную прямым в евклидовом пространстве. [36]
Таким образом, специализированные римановы координаты называются нормальными координатами с началом в данной точке. Fn, а затем обобщены для пространств аффинной связности рядом авторов ( [66]; [67], стр. [37]
В четвертой главе излагаются основы теории почти геодезических отображений аффинно-связных ( без кручения) и римановых пространств. Эта теория является естественным и в то же время широким обобщением теории геодезических отображений, содержащим указанные выше обобщения ( для пространств без кручения) в качестве специальных случаев. Конкретнее, здесь вводится понятие о почти геодезических линиях пространств аффинной связности, почти геодезических отображениях одного из данных пространств на другое, доказывается существование трех типов почти геодезических отображений п1, л2, п3 и проводится исследование каждого из них. В соответствии с типом этого отображения ( п - 2) - проективные пространства относятся к первому, второму или третьему типу. [38]
Поэтому для неизотропной геодезической линии из ( 129) вытекает, что s т Ь, где а ф О и b - некоторые постоянные. Тем самым длина дуги неизотропной геодезической линии риманова пространства является ее каноническим параметром, а общий канонический параметр представляет собою линейную функцию длины дуги. В случае изотропной геодезической линии у нее не существует длины дуги, но канонический параметр существует, как у любой геодезической линии пространства аффинной связности. [39]
Аналогично можно поставить вопрос и для произвольного тг-мерного пространства. Для этого следует установить характер его бесконечно малой частицы. Во всех своих точках оно является касательным к эвклидову - мерному пространству. Такой характер и имели все д-мерные пространства, построенные первоначально Ри-маном. Но в связи с теорией относительности были построены пространства более сложной структуры: сначала пространство аффинной связности, к-рое в каждой своей точке является касательной к нек-рому аффинному пространству, и далее пространства проективной и конформной связности, к-рые имеют аналогичное взаимоотношение с проективным и конформным пространствами. Для построения и изучения подобного рода сложных пространств был применен особый аналитич. Наряду с ним следует поставить более геометрич. [40]