Cтраница 3
Существуют неполные нормированные векторные пространства, которые нетощи и потому бочечны ( упр. Существуют также нормированные векторные пространства, которые бочечны и тощи ( Бурбаки [ 7, стр. [31]
Линейное преобразование А нормированного векторного пространства U в нормированное векторное пространство 11 непрерывно, если оно непрерывно как отображение метрического пространства U в метрическое пространство U1 ( см. пп. Линейное преобразование одного нормированного векторного пространства в другое непрерывно в том и только в том случае, если оно ограничено. [32]
I, § 5); в этой главе мы будем рассматривать функции, множествами определения которых являются подмножества множества Е, принадлежащие базису фильтра § ( зависящие от рассматриваемой функции), принимающие свои значения либо в теле R действительных чисел, либо вообще в некотором нормированном векторном пространстве над упорядоченным телом ( Общая топология, гл. [33]
Многие из задач, которыми занимаются аналитики, касаются не отдельных объектов типа функций, мер или операторов, а скорее обширных классов таких объектов. Большинство интересных классов, возникающих таким образом, оказываются векторными пространствами над полем комплексных или вещественных чисел. Поскольку во всякой аналитической задаче некоторую роль ( явно или неявно) играет предельный переход, неудивительно, что эти векторные пространства можно наделить метрикой или по крайней мере топологией, естественно связанной с объектами, составляющими пространство. Простейший и наиболее важный способ сделать это состоит во введении некоторой нормы. Получающаяся при этом структура ( точное определение дано ниже) называется нормированным векторным пространством, или нормированным линейным пространством, или просто нормированным пространством. [34]