Cтраница 3
Выше рассмотрено так называемое функциональное пространство. Соответственно каждое значение функции т з ( х) - вектора гильбертова пространства - есть проекция этого вектора на векторы базиса б ( х - х) и в то же время элемент непрерывной матрицы-строки или столбца. Такой подход значительно расширяет возможности применения дираковских обозначений бра и кет для векторов гильбертова пространства. В частности, все формулы приобретают матричный смысл. [31]
В математической литературе это бесконечномерное функциональное пространство ( или конечномерные пространства, которыми оно может быть в некоторых случаях заменено - см. ниже) часто называют фазовым. Мы не пользуемся здесь этим термином во избежание смешения с более конкретным смыслом, который он обычно имеет в физике. [32]
В математической литературе это бесконечномерное функциональное пространство ( или конечномерные пространства, которыми оно может быть в некоторых случаях заменено - см. ниже) часто называют фазовым. Мы не пользуемся здесь этим термином во избежание смешения с более конкретным смыслом, который он обычно имеет в физике. [33]
В математической литературе это бесконечномерное функциональное пространство ( или конечномерные пространства, которыми оно может быть в некоторых случаях заменено - см. ниже) часто называют фазовым. Мы не пользуемся здесь этим термином во избежание смешения с более конкрет-вым смыслом, который он обычно имеет в физике. [34]
Впрочем, такое сужение функционального пространства не всегда легко сделать. Рассмотрим, например, краевые задачи для уравнений с частными производными. Речь идет о пересечении двух подмногообразий в функциональном пространстве: пространства решений и пространства функций, удовлетворяющих граничным условиям. Оба эти многообразия имеют бесконечную размерность и бесконечную коразмерность. Анализ этой ситуации требует умения различать разные бесконечные размерности и коразмерности: условие обращения в нуль функции одного переменного, построенной по данному объекту, выделяет в функциональном пространстве многообразие меньшей ( бесконечной) коразмерности, чем условие обращения в нуль функции двух переменных. [35]
QO) иногда называется функциональным пространством. [36]
Используя градиентный метод в функциональном пространстве в тех случаях, когда он пригоден, можно получить результаты быстрее, чем предыдущими методами. Он работает тем лучше, чем ближе к оптимуму исходные значения. Это понятно, поскольку аналитически градиент найти легче, чем численно. Если метод применяется далеко от оптимального распределения, то при не очень малых е он может быть неустойчивым. Как и в предыдущих методах, здесь существует затруднение в определении оптимума. [37]
О вероятностных мерах в функциональных пространствах, отвечающих гауссовским случайным процессам / / Теория вероятн. [38]
Используя градиентный метод в функциональном пространстве в тех случаях, когда он пригоден, можно получить результаты быстрее, чем предыдущими методами. Он работает тем лучше, чем ближе к оптимуму исходные значения. Это понятно, поскольку аналитически градиент найти легче, чем численно. Если метод применяется далеко от оптимального распределения, то при не очень малых е он может быть неустойчивым. Как и в предыдущих методах, здесь существует затруднение в определении оптимума. [39]
Каждой спецификации требования в функциональном пространстве будет дано какое-то решение в опознавательном пространстве с точным соответствием. Проблема проектирования сводится к проблеме поиска данных. Это значит, что никакого артефакта не будет создано в ходе проектирования, который не существовал в прошлом. [40]
О вероятностных мерах в функциональных пространствах, отвечающих гауссовским стационарным процессам, Теория вероят. [41]
Непрерывные операторы умножения в функциональных пространствах на функции ( могущие и не принадлежать данному пространству) называют мультипликаторами. [42]
Если преобразования элементов в функциональном пространстве обладают свойством линейности ( см. приложение), то пространство называют линейным. [43]
Рассмотрения распределений вероятностей в функциональном пространстве можно избежать, допустив, что функции ui (, t), i I, 2, 3 - аналитические по всем переменным и поэтому разлагаются в ряды Тэйлора. Тогда можно заключить, что все ла-гранжевы величины должны выражаться через значения эйлеровой скорости и всех ее частных производных в одной точке пространства-времени. [44]
Функции, определенные на функциональных пространствах. Точно так же, как в классическом математическом анализе, можно ввести понятие функции, аргументом и значением которой будут элементы абстрактных пространств. [45]