Cтраница 3
Пусть ( Xlt 9Ij) и ( Xz, 512) - произвольные измеримые пространства, 1, - числовая обобщенная мера на о-алгебре 2lj, г2 - обобщенная мера на о-алгебре 3t2 со значениями в полном нормированном пространстве L, и пусть ф ( д: 1, х2) - измеримая функция на произведении измеримых пространств ( Xv 3tj) и ( Л 2, Щ), принимающая числовые значения или ( когда обобщенная мера и2 является числовой) принимающая значения в полном нормированном сепарабельном пространстве У. [31]
Пусть / - компактный интервал [ а, Ь ] расширенной прямой R ( следовательно, а и Ъ могут принимать бесконечные значения); пусть, далее, f - функция, определенная на ] а, Ь [ и принимающая свои значения в полном нормированном пространстве Е над телом R. Обобщая определение 2 из § 1, будем говорить, что функция g, определенная на [ а, Ь ] и принимающая значения в Е, есть примитивная функции f, если она непрерывна на [ а, Ь ] ( и, в частности, в концах а и Ь) и имеет производную, равную f ( х), во всех точках дополнения относительно ] а, Ь [ некоторой счетной части этого интервала. [32]
Основные факты теории нормированных пространств предполагаются известными. Полные нормированные пространства называют банаховыми. Ряд банаховых пространств систематически используется ниже; напомним соответствующие определения и обозначения. [33]
Линейное нормированное пространство X называют полным, если каждая фундаментальная последовательность его элементов сходится. Полное нормированное пространство называют обычно банаховым. [34]
Нормированное пространство X называется полным, если в нем любая фундаментальная последовательность сходится к некоторому элементу X. Полные нормированные пространства называются банаховыми пространствами В дальнейшем все изложение будем вести для банаховых пространств. [35]
Нормированное пространство X называется полным, если в нем любая фундаментальная последовательность сходится к некоторому элементу X. Полные нормированные пространства называются банаховыми пространствами. [36]
Метрическое пространство называется полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность имеет предел. Полное нормированное пространство Н, в котором норма определена скалярным произведением, называется гильбертовым пространством. [37]
Замечание 8.3. Предположим, что операторы 7 ( и, и), Тг ( и, и) являются вполне непрерывными. Тогда из одного только условия 1) теоремы 8.1 вытекает существование решения ( у, z) системы уравнений (8.3) в некоторой ограниченной области D с Е х Е, где Е - произвольное полное нормированное пространство. [38]
Нормированным пространством называется векторное пространство с заданной на нем нормой. Все рассматриваемые в книге нормированные пространства являются векторными пространствами над полем С. Полное нормированное пространство называется банаховым. [39]
Но каждое множество ASn ( 0) компактно, поскольку оператор А вполне непрерывный, а шар S, ( 0) - ограниченное множество. Кроме того, известно ( см. следствие из теоремы 6, гл. Таким образом, полное нормированное пространство R ( А) представлено в виде объединения счетного числа нигде не плотных множеств. Это приводит к противоречию с теоремой Бэра о категориях ( см. теорему 9, гл. Поэтому, действительно, множество R ( А) не является замкнутым. [40]
Производную Ньютон называл флюксией, первообразную-флюентой, Лейбницу принадлежат обозначения d и и свод правил неопределенного интегрирования. Необходимые и достаточные условия интегрируемости ( разрывной) функции были указаны в разных формах последовательно Риманом, Дю-Буа - Рай-моном, Лебегом на протяжении второй половины XIX века. Стилтьес ввел свое новое понятие интеграла в 1894 г. в связи с некоторыми специальными задачами; в XX веке это понятие стало широко применяться и в общих вопросах. В 1902 г. новое более широкое понятие интеграла ввел Лебег; в современной математике оно играет решающую роль, во-первых, потому, что совокупность интегрируемых по Лебегу функций может быть оформлена в полное нормированное пространство ( см. часть третья, гл. Интеграл, мера и производная, 2 - е изд. [41]