Cтраница 2
Однако ограниченные множества в пространстве Ф, сопряженном к совершенному пространству Ф, также компактны относительно слабой и сильной сходимости. [16]
Покажем, что при этом пространство S B становится полным счетно-нормарованным совершенным пространством. [17]
I мы проверили, что К ( а) является совершенным пространством. [18]
При помощи этого условия мы проверим, что Z ( a) является совершенным пространством. [19]
Мы утверждаем, что с этой системой норм пространство Sa, А становится полным счетно-нормированным совершенным пространством. [20]
Докажите, что произведение XX У совершенного пространства X и метризуемого пространства У есть совершенное пространство. [21]
В частности, если о - ср и предельно-замкнуто по отношению к a - сходимости, то а - совершенное пространство. [22]
Действительно, любое совершенное пространство содержит ср, и, согласно ( 10.3, V), когда a - совершенное пространство, мы имеем D ( a) d ( a) a, что и доказывает теорему. [23]
Как мы получим в § 2 из общих соображений, пространство Z ( a) в указанной топологии будет ( полным счетно-нормированным) совершенным пространством. [24]
Следовательно, ap - Iim л: ( л х и, по условию теоремы, х.а. Отсюда следует, что a a и, значит, а является совершенным пространством. [25]
Равенство ( 2) легко доказывается в слабом смысле, тогда оно превращается в классическую теорему; затем остается констатировать, что равенство ( 2) справедливо также и в сильном смысле, поскольку в совершенном пространстве слабая и сильная сходимости совпадают. [26]
Пространство последовательностей а называется совершенным, если а а. Таким образом, совершенное пространство содержит любую последовательность, которая может быть спроектирована на любое направление в его двойственном пространстве. [27]
Оказывается, что совершенные пространства обладают рядом замечательных свойств, которые, естественно, не имеют и не могут иметь места в бесконечномерных нормированных пространствах. Так, в совершенном пространстве сильная сходимость совпадает со слабой; ограниченные множества в пространстве Ф7, сопряженном к совершенному пространству Ф, также компактны и слабая сходимость в пространстве Ф7 совпадает с сильной сходимостью. [28]
Если N есть / - множество для а, то пространство а не всегда содержит все точки, которые имеют конечное число отличных от нуля координат с номерами из N. Мы видели, что Oj совершенное, a Oj не является совершенным пространством. [29]
Оказывается, что совершенные пространства обладают рядом замечательных свойств, которые, естественно, не имеют и не могут иметь места в бесконечномерных нормированных пространствах. Так, в совершенном пространстве сильная сходимость совпадает со слабой; ограниченные множества в пространстве Ф7, сопряженном к совершенному пространству Ф, также компактны и слабая сходимость в пространстве Ф7 совпадает с сильной сходимостью. [30]