Cтраница 3
Очевидно, что эти выражения удовлетворяют обычным аксиомам нормы. В § 2 мы покажем, что пространство Z [ Mp ] является полным счетно-нормированным пространством и при выполнении некоторого дополнительного условия, наложенного на функции Mp ( z), также и совершенным пространством. [31]
Установим сначала компактность ограниченных множеств пространства Ф относительно слабой сходимости. Напомним, что топологическое пространство называется сепарабелъным, если в нем имеется счетное всюду плотное множество. Ниже мы покажем, что в совершенном пространстве всегда такое множество имеется. [32]
Предположим, что а содержит неограниченную последовательность х, в которой [ хьЛ неограниченно возрастает. Пусть х - точка, полученная из х следующим образом: все координаты, номера которых не содержатся в последовательности kt, полагаем равными нулю, а остальные координаты оставляем без изменения. Пространство а совершенное и поэтому содержит ср. В самом деле, если бы было а ср, то по ( 10.1 1V) а ср а и, значит, a a, так как a - совершенное пространство. [33]