Cтраница 2
Следствие 5.7. Пусть р: X - Х - универсальное накрытие связного локально линейно связного пространства X. [16]
Пусть G - связная группа Ли, эффективно действующая на связном и локально линейно связном пространстве X, и пусть X - Х - некоторое накрытие пространства X. Тогда существует группа G, накрывающая группу G и обладающая эффективным действием на X, накрывающим данное G-действие на X. При этом группа G и ее действие единсп & енны. [17]
Пусть G - группа Ли ( не обязательно связная), действующая на связном и локально линейно связном пространстве X, и пусть задано накрытие р: X - X пространства X. Пусть, далее, выбрана точка х 0 е X, проектирующаяся в точку ха е X, являющуюся неподвижной точкой данного G-действия на X. Тогда и только тогда существует ( единственное) G-действие на X, оставляющее неподвижной точку х 0, когда подгруппа р ( nt ( X1, х о)) группы. [18]
II было уже замечено ( см. (4.6) и сопровождающее обсуждение), что алгебраические свойства всякого гомоморфизма, индуцированного непрерывным отображением линейно связного пространства, не зависят от выбора базисной точки. [19]
ПУТЕЙ ПРОСТРАНСТВО - пространство Е расслоения ( Е, р, X), называемое расслоением пу т е и, где X - линейно связное пространство с отмеченной точкой, Е - множество путей в X, начинающихся в, р - отображение, сопоставляющее каждому Пути его концевую точку; при этом Е рассматривается в компактно открытой топологии. [20]
В качестве элементарного упражнения мы оставляем читателю доказательство следующего более общего утверждения: cat ( V) max ( cat ( X), cat ( Y)), где X и Y - произвольные линейно связные пространства. Формула cat ( X V S) cat ( X) ( если cat ( X) 2) есть частный случай этого утверждения. Возвращаясь к подсчету cat ( Tn), получаем: cat ( Г) cat ( ( T - VS) lk) cat ( Т 1 V) 1 - Так как cat ( Та-1 V S1) cat ( rn -), и cat ( Т2) 3, то, по индукции, получаем: cat ( Г 1 1) п 1, что и требовалось доказать. [21]
Максимальные абелевы и максимальные свободные абеле-вы накрытия. Рассмотрим связное локально линейно связное пространство X. [22]
Пространство называется локально линейно связным, если у каждой его точки имеется базисное семейство линейно связных окрестностей. Отметим, что всякое связное локально линейно связное пространство линейно связно. [23]
Проверьте, что каждое локально линейно связное пространство локально связно, и приведите пример локально связного подпространства плоскости, которое не является локально линейно связным. Покажите, что каждое связное локально линейно связное пространство линейно связно. [24]
Но тогда функция sin ( l / rr ( t)) не имеет предела при t - to - 0; следовательно, функция y ( t) не является непрерывной. Таким образом, пространство X не является линейно связным пространством. [25]
Мы пользуемся далее понятием связного и локально связного топологического пространства, понятием связной составляющей ( компоненты) топологического пространства. При рассмотрении локально связных пространств мы обычно понимаем под окрестностью точки Р связное открытое множество ( область), содержащее эту точку. Можно показать, что линейно связное пространство всегда связно, что связное, локально линейно связное пространство всегда линейно связно. [26]
Это определение следует сравнить с определением связности. Топологическое пространство называется связным, если оно не является объединением двух непустых непересекающихся открытых множеств. Легко показать, что линейно связное пространство обязательно связно, но связное пространство, вообще говоря, не является линейно связным. [27]
Мы пользуемся далее понятием связного и локально связного топологического пространства, понятием связной составляющей ( компоненты) топологического пространства. При рассмотрении локально связных пространств мы обычно понимаем под окрестностью точки Р связное открытое множество ( область), содержащее эту точку. Можно показать, что линейно связное пространство всегда связно, что связное, локально линейно связное пространство всегда линейно связно. [28]
Хп обладает тем свойством, что пв1 ( Хп) 0 при тге. X, если для любого n - i заданы отображения qn: X - - X, индуцирующие изоморфизм гомотопич. Эта резольвента с точностью до изоморфизма [ понимаемого как изоморфизм последовательностей ( см. Последовательностей категория) ] определяется однозначно группами я л ( Х) и характористич. Резольвента существует для любого линейно связного пространства X [ таковой будет, напр. Слоем расслоения pn: Xn l - Xn является пространство типа К ( пп 1, ге 1), и в случае, когда X гомотопически n - просто ( см. Гомотопическая группа), напр. [29]
В этом примере пространство расслоения X содержит подмножество В С X, состоящее из одноточечных путей 7 ( 2) const. Легко видеть, что В является в X деформационным ретрактом. Пространство X обозначается в этом случае через Еуо. Слои Fy над у У обозначаются через ft ( yo, У - Для всех у они гомотопически-эквивалентны друг другу, если У - линейно связное пространство. [30]