Cтраница 2
С помощью понятия отображения легко определяется понятие кривой в любом топологическом пространстве. [16]
Если X - дискретное пространство, то каждое его отображение в любое топологическое пространство У непрерывно. Аналогично, всякое отображение любого топологического пространства X в любое антидискретное пространство У непрерывно. [17]
Измеримые по Лебегу подмножества числовой прямой, а также борелев-ские подмножества любого топологического пространства дают примеры er - алгебр множеств. [18]
Топологическое пространство BG - называется классифици ругощим для группы & если для любого топологического пространства X множество классов эквивалентности G. X со структурной группой G - совпадает с множеством гомотопических классов [ X, BG - ] отображений из X в BG. При этом над BG - можно построить так называемое универсальное расслоение EG - BG -, так что любое расслоение из - & С ( Х) с точностью до эквивалентности может быть получено как обратный образ универсального расслоения при некотором оаображента X BG. Кдассифиодрующее пространство BU ес5ь по определению U BU ( n) 5 наделенное топологией прямого предела, или3 что то же самое. [19]
Том показал, что существует коммутативный коцепной комплекс над полем вещественных чисел, ассоциированный с любым топологическим пространством, который определяет обычное кольцо сингулярных когомологий. В работе [3] Квиллен показал, что подобный комплекс, определяющий кольцо рациональных когомологий, существует даже над рациональными числами. Конструкция Квиллена является весьма сложной. Конструкция же Тома проста и элегантна, что ставит естественный вопрос о возможности ее модификации для случая поля рациональных чисел. Здесь я покажу, что этот вопрос решается положительно. [20]
Пусть As X Bs seS, где S K0, - произвольное локально конечное семейство непустых множеств в произведении XX У, где X - любое топологическое пространство, а Y есть k - пространство. Тогда найдется бесконечное подмножество So a S, такое, что либо семейство As sesi, либо семейства Bs seSti локально конечно. [21]
Если X - дискретное пространство, то каждое его отображение в любое топологическое пространство У непрерывно. Аналогично, всякое отображение любого топологического пространства X в любое антидискретное пространство У непрерывно. [22]
Поэтому нормальность и удовлетворение первой аксиоме счетности являются необходимыми условиями метризуемости топологического пространства. В качестве примера неметризуе-мого пространства, можно взять любое топологическое пространство, не удовлетворяющее первой аксиоме счетности или не нормальное. Между тем, названные условия не являются достаточными для метризуемости пространства. Ответ на вопрос о метризации пространств со счетной базой дает следующая теорема. [23]
Полная решетка L тогда и только тогда обладает относительными псевдодополнениями, когда она бесконечно П - Дистрибутивна. Примерами таких решеток, кроме приводившихся ранее ( когда речь шла о бесконечной дистрибутивности), могут служить решетка идеалов дистрибутивной решетки с нулем, решетка открытых подмножеств любого топологического пространства. Однако, например, решетка замкнутых подмножеств числовой прямой уже не будет входить в этот список: не существует наибольшего замкнутого подмножества, не содержащего произвольную фиксированную точку. Любая решетка с относительными псевдодополнениями вкладывается в решетку всех открытых подмножеств подходящего компактного Го-пространства. [24]
Понятия, определенные в этих пунктах, играют в дальнейшем существенную роль. Хотя мы будем пользоваться ими лишь для частного вида пространств, а именно для многообразий, тем не менее основные свойства, характеризующие эти понятия, справедливы в любых топологических пространствах. [25]
Подкрученном группа гомологии Бореля-Муро, Ht ( B ( X k), Ji) определяется как группа гомологии комплекса локально конечных сингулярных цепей В ( Х, k) с коэффициентами в системе Z. Аналогичным образом определяем локальные системы R Z 8 R и их группы гомологии. Для любого топологического пространства X, X обозначает его одноточечную компактификацию. [26]
Пусть р Е - В - расслоение в смысле Серра, где В - связный ( LW - комплекс. На самом деде, требование В - связный С UX - комплекс излишне для справедливости конструкции, к которой мы сейчас переходим. Ведь известно, что для любого топологического пространства X существует такой & W - комплекс X и отображение / Х - Х, что / индуцирует изоморфизм всех гомотопических групп. [27]
Топология такого произведения есть слабейшая из топологий, в которых открыты все множества вида tta G), G TO. Значения функции могут лежать в любом топологическом пространстве. Примером может служить операция умножения или, при аддитивной терминологии, сложения, определенная в некоторой группе Г, наделенной топологией. Непрерывность этой операции ( рассматриваемой как отображение Г2 в Г) в сочетании с непрерывностью операции перехода к обратному элементу означает по определению, что Г - топологическая группа. [28]
Легко видеть, что след ( на А) топологии т ( заданной в X) является топологией 1А в А. Таким образом, всякое подмножество А любого топологического пространства само оказывается топологическим пространством. Топология тл называется относительной топологией в А. [29]
X) является топологией тл в А. Таким образом, всякое подмножество А любого топологического пространства само оказывается топологическим пространством. Топология tA называется относительной топологией в А. [30]