Cтраница 3
Хотя различить эти понятия нелегко - для нормальных пространств счетная компактность равносильна псевдокомпактности, - эти понятия, как выяснилось, разделяет пропасть: если счетная компактность наследуется замкнутыми подпространствами, то каждое тихоновское пространство вкладывается в качестве замкнутого подпространства в псевдокомпактное пространство. Всестороннему изучению были подвергнуты нормальность и свойство Линделефа, в частности, был построен пример нормального не счетно паракомпактного пространства. Много тонких исследований было посвящено свойствам типа полноты: полноте по Чеху, полноте по Хьюитту, полноте по Дьедонне и др. Были введены и продемонстрировали свое важное значение - для создания единой классификации топологических пространств - новые классы пространств и отображений: перистые, кружевные пространства, линделефовы 2-пространства, псевдооткрытые, бифакторные отображения. [31]
Топологическое пространство X называется сильно па-ракомпактным 1), если в каждое открытое покрытие пространства X можно вписать звездно конечное открытое покрытие. Каждое сильно паракомпактное пространство паракомпактно; следовательно, хаусдорфово сильно паракомпактное пространство нормально. Однако не всякий паракомпакт сильно пара-компактен ( см. упр. [32]
Всякое компактное пространство нормально. Локально компактное пространство не обязательно нормально. Однако всякое паракомпактное пространство нормально. [33]
Пусть Т - топологическая группа и S - такая ее замкнутая подгруппа, что T - - S T - расслоение. Предположим, что включение S с: Т есть слабая гомотопическая эквивалентность. Пусть дано паракомпактное пространство В, имеющее гомотопический тип клеточного пространства. [34]
Нф ( Х, § -), для описания к-рого в терминах / / ф ( Х, 354 применяются спектральные последовательности. Если X - паракомпактное пространство, то всякий вялый пучок является также и мягким. [35]
Параграф 5.1 посвящен паракомпактным пространствам. Далее доказываем, что паракомпактные хаусдорфовы пространства обладают свойством коллективной нормальности, намного более сильным, чем простая нормальность, и приводим несколько примеров. Во второй части этого параграфа изучаются операции над паракомпактными пространствами и поведение этого класса пространств при отображениях. Параграф завершается теоремой Тамано, в которой устанавливается интересная внешняя характеристика паракомпактных хаусдорфовых пространств. [36]
Топологическое пространство X называется счетно параком-пактным, если в каждое его счетное открытое покрытие можно вписать локально конечное открытое покрытие. Ясно, что каждое паракомпактное пространство счетно паракомпактно и что таковы все счетно компактные пространства. Из теоремы 3.10.22 вытекает, что каждое псевдокомпактное счетно паракомпактное пространство счетно компактно. Значит, пространство X из примера 3.10.29 является тихоновским не счетно паракомпактным пространством ( см. также упр. С другой стороны, найти нормальное пространство, которое не счетно паракомпактно, было известной задачей общей топологии на протяжении примерно двадцати лет. Сейчас такие пространства известны, но они слишком сложны для того, чтобы их можно было здесь описать. [37]
Топологическое пространство X называется сильно па-ракомпактным 1), если в каждое открытое покрытие пространства X можно вписать звездно конечное открытое покрытие. Каждое сильно паракомпактное пространство паракомпактно; следовательно, хаусдорфово сильно паракомпактное пространство нормально. Однако не всякий паракомпакт сильно пара-компактен ( см. упр. [38]
Так как звездная конечность покрытия влечет за собой ею локальную конечность, то всякое сильно наракомпактное пространство, очевидно, паракомпактпо. Далее, поскольку, как легко убедиться, каждое локально конечное покрытие точечно конечно, то всякое паракомпактпое пространство заведомо слабо паракомпактпо. Однако следует иметь в виду, что существуют слабо пара-компактные, по не паракомпактные пространства, а также прострапстиа, которые хоть и паракомпактпы, но не сильно наракомпактпы. [39]
Было бы желательно дать достаточные условия того, что многообразие допускает разбиение единицы. Топологический аспект этой проблемы несложен. Известно ( см. Бурбаки [3]), что каждое метрическое пространство паракомпактно и что на каждом паракомпактном пространстве существует непрерывное разбиение единицы. [40]
Топологическое пространство X называется счетно параком-пактным, если в каждое его счетное открытое покрытие можно вписать локально конечное открытое покрытие. Ясно, что каждое паракомпактное пространство счетно паракомпактно и что таковы все счетно компактные пространства. Из теоремы 3.10.22 вытекает, что каждое псевдокомпактное счетно паракомпактное пространство счетно компактно. Значит, пространство X из примера 3.10.29 является тихоновским не счетно паракомпактным пространством ( см. также упр. С другой стороны, найти нормальное пространство, которое не счетно паракомпактно, было известной задачей общей топологии на протяжении примерно двадцати лет. Сейчас такие пространства известны, но они слишком сложны для того, чтобы их можно было здесь описать. [41]