Cтраница 3
Функция Dc ( x - у), которая фигурирует в производящем функционале Z ( r), разумеется, этим свойством не обладает, что приводит при его вычислении по теории возмущений к появлению ультрафиолетовых рас-ходимостей. Эти расходимости устраняются процедурой перенормировки, которая будет обсуждаться в гл. Первый этап этой процедуры состоит во введении промежуточной регуляризации, заменяющей функцию Dr ( x - у) гладкой функцией. [31]
Все преобразования, выполняемые над функциями S, П, Л и М при перенормировке массы и заряда, осуществляются до перехода к пределу К. После выполнения интегрирования и упомянутой процедуры перенормировки массы и заряда, в полученных выражениях необходимо перейти к пределу / С - оо, что дает вполне определенный конечный результат. [32]
Однако мультиплика тивный характер перенормировок допускает иной подход к рассматриваемой проблеме. Более подробно это изложено в последующих параграфах. Следует также отметить, что проводимые здесь процедуры перенормировок выпо. [33]
Да, но они могут требовать большого объема работы. Чтобы рассчитать а4 порядок для КЭД, не хватает мощности лучших ЭВМ. Но самое важное - не во всех теориях проходит процедура перенормировки. Бывают неперенормируемые теории, они вообще бессмысленны. [34]
Вычисление вклада диаграмм четвертого порядка ( см. рис. 24.4) натолкнулось на трудности, связанные с ультрафиолетовыми рас-ходимостями. Лишь во второй половине 40 - х годов была построена так называемая ковариантная теория возмущений, в рамках которой была сформулирована процедура перенормировок. [35]
Контрчленная форма й-операции удобна для исследования полей Янга - Миллса, так как она позволяет наиболее просто и явно учесть свойства симметрии. Как мы уже видели в предыдущей главе, принцип относительности позволяет строить теорию возмущений для полей Янга - Миллса, отправляясь от различных калибровок. При этом калибровки, в которых S-матрица формально унитарна ( кулоновская или гамильтонова калибровки для безмассового поля Янга - Миллса, унитарная калибровка для теории со спонтанно нарушенной симметрией), неудобны с точки зрения процедуры перенормировки. В первых двух случаях отсутствует явная релятивистская инвариантность, а в последнем - явная перенормируемость. Гораздо удобнее в этом смысле явно ковариантные калибровки типа лоренцевой, для которых, как мы вскоре увидим, перенормируемость очевидна. Однако в лоренцевой калибровке мы не можем построить гамильтонову формулировку теории, и потому унитарность S-матрицы не очевидна. С точки зрения операторного формализма - матрица в лоренцевой калибровке действует в большом пространстве, содержащем как физические, так и нефизические состояния ( продольные и временные фотоны, скалярные фермионы, голдстоуновские бозоны), и, вообще говоря, унитарна лишь в этом пространстве, в котором метрика индефинитна. Унитарность - матрицы в физическом подпространстве, состояния которого соответствуют полям материи и поперечным векторным квантам, является следствием принципа относительности, который утверждает, что все наблюдаемые не зависят от конкретного выбора калибровочного условия. Это подтверждается явными вычислениями предыдущей главы, где было показано, что явно унитарный производящий функционал для коэффициентных функций 5-мат-рицы в кулоновской калибровке может быть тождественно преобразован в функционал, отвечающий лоренцевой калибровке. Приведенные рассуждения носили, однако, формальный характер, так как мы не обращали внимания на расходимости, появляющиеся при вычислении этих функционалов по теории возмущений. [36]
Развивавшаяся в предыдущих разделах схема построения перенормированной матрицы рассеяния сводится к следующему. Квантование проводится в нековариантной ( например, кулоновской), калибровке в которой пространство состояний включает лишь физические частицы. Далее, пользуясь калибровочной инвариантностью, мы переходим в ковауиантную калибровку и в этой калибровке проводим перенормировку. Доказанная выше согласованность процедуры перенормировки с принципом относительности позволяет нам уже в перенормированной теории вновь перейти в кулоновскую калибровку, демонстрируя тем самым унитарность перенормированной б - матрицы. [37]
Этот фактор возникает в результате того, что масштабное преобразование затрагивает также положение точки нормировки. Отсюда и возникает дополнительная аномальная размерность функций Грина. Этот фактор имеет, в сущности, ту же природу, что и аксиальная аномалия. Классическая симметрия нарушается процедурой перенормировки, которая вводит в теорию новый размерный параметр. [38]
Основная проблема при изучении Гм состоит в том, что эта величина расходится. Более точно, всякие расчеты, при которых возникает потребность вычислить среднее значение от величины, содержащей произведение двух и более операторов поля в совпадающих точках ( Гм имеет как раз такой вид), приводят к появлению бесконечностей. Подобные расходимости, возникающие уже в плоском пространстве-времени, связаны с вакуумными нулевыми флуктуациями. Методы выделения конечной, имеющей физический смысл части Гм, известные как процедуры перенормировки, широко обсуждались в литературе в связи с развитием общей квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени и с ее конкретными приложениями в космологии и физике черных дыр. Поэтому мы лишь кратко остановимся на процедуре перенормировки Гр, а более подробно обсудим те особенности эффекта поляризации вакуума, которые связаны со спецификой черных дыр ( в частности, вопросе выборе вакуумного состояния), и приведем основные результаты вычислений Т) геп. [39]
При этом необходимо решить вопрос о квантовании нелинейных уравнений поля, который представляет, как известно, определенную математическую трудность. Можно надеяться, что на этом пути удастся построить квантовую теорию поля, применимую для сколь угодно малых областей пространства и лишенную таких пороков, как расходимости. Определив из этих соотношений затравочные массы и заряды, мы избавимся от необходимости выполнения процедуры перенормировки масс и зарядов. [40]
Основная проблема при изучении Гм состоит в том, что эта величина расходится. Более точно, всякие расчеты, при которых возникает потребность вычислить среднее значение от величины, содержащей произведение двух и более операторов поля в совпадающих точках ( Гм имеет как раз такой вид), приводят к появлению бесконечностей. Подобные расходимости, возникающие уже в плоском пространстве-времени, связаны с вакуумными нулевыми флуктуациями. Методы выделения конечной, имеющей физический смысл части Гм, известные как процедуры перенормировки, широко обсуждались в литературе в связи с развитием общей квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени и с ее конкретными приложениями в космологии и физике черных дыр. Поэтому мы лишь кратко остановимся на процедуре перенормировки Гр, а более подробно обсудим те особенности эффекта поляризации вакуума, которые связаны со спецификой черных дыр ( в частности, вопросе выборе вакуумного состояния), и приведем основные результаты вычислений Т) геп. [41]
Здесь использованы симметризованные выражения для операторов N. Это допустимо в данном случае, так как необходимы только диагональные матричные элементы, а членами порядка m / Q2 пренебрегают ( ср. Выражения (19.3) и (19.4) записаны довольно схематично. При учете кварк-глюонных взаимодействий операторы, входящие в (19.3) и (19.4), подвергаются перенормировке. Помимо прочих эффектов это приводит к двум весьма важным следствиям. Во-первых поскольку операторы Nf и Nv обладают одинаковыми квантовыми числами ( они являются синг летами по группе аромата), выражения для перенормированных операторов NF и N v представляют собой комбинации, содержащие неперенормированные операторы обоих типов. Этого не происходит для операторов NNS, которые при проведении процедуры перенормировок оказываются выраженными через себя же. [42]
Массивная частица и ее античастица могут аннигилировать с выделением энергии. С другой стороны, пара частица-античастица может рождаться из энергии. Действительно, число частиц не обязательно должно быть даже определенным, ибо допускаются линейные суперпозиции состояний с различным числом частиц. Верховной квантовой теорией поля по праву считается квантовая электродинамика - по сути, теория электронов и протонов. Квантовая теория поля замечательна точностью своих предсказаний ( например, она предсказала точное значение магнитного момента электрона, упоминавшееся в предыдущей главе, с. Однако она является весьма неупорядоченной ( и не вполне непротиворечивой), так как изначально дает не имеющие физического смысла бесконечные ответы. Такие бесконечные значения, или расходимости, подлежат устранению с помощью так называемой процедуры перенормировки. Не все квантовые теории поля поддаются перенормировке, и даже те, которые допускают перенормировку, наталкиваются на значительные вычислительные трудности. [43]
Интегрирование по трансляциям приводит к расходящемуся множителю V - oo, но это поддается удовлетворительному объяснению, так как мы ожидаем, что вакуумные состояния имеют конечную плотность энергии E V. Но если расходится интегрирование по размеру инстантона ( также коллективной координате для масштабной симметрии), то никакая аналогичная интерпретация не может спасти данную ситуацию. Чтобы увидеть, возникает ли такая расходимость, исследуем более тщательно, чем мы сделали для абелевой модели, множитель В ( XJ. По существу этот множитель включает детерминант, обусловленный квантовыми флуктуациями. Последний есть экспонента от суммы по всем ненулевым собственным значениям логарифма второй производной от действия, вычисленной в окрестности фонового поля инстантона. Как и во многих других полевых теориях, эта сумма по частотам включает ультрафиолетовую расходимость. В перенормируемой теории такие расходимости устраняются перенормировочной процедурой. Мы, очевидно, не можем здесь воспроизвести сложную процедуру перенормировки неабелевых калибровочных теорий. [44]