Cтраница 3
Основной вопрос, на котором мы здесь остановимся, - это вопрос о топологии резонансных зон. Наряду с этим рассмотрим вопрос о синхронизации колебаний в системах вида (6.29) и, в частности, в системах, дивергенция векторного поля которых содержит параметрические члены. [31]
Допустим, что усредненная система (6.28) в некоторой области Д является грубой в смысле Андронова - Понтрягина. Это означает, что в системе (6.28): 1) могут существовать лишь простые состояния равновесия, отличные от центра, и их число ограничено; 2) замкнутыми траекториями могут быть лишь простые предельные циклы, для которых интеграл от дивергенции векторного поля отличен от нуля; 3) не могут существовать сепаратрисы, идущие из седла в седло. [32]
В случаях 2) и 3) повеление фазовых кривых ЧУС в областях притяжения может быть достаточно сложным. Наряду с состояниями равновесия, здесь могут существовать предельные циклы и двумерные замкнутые инвариантные многообразия, скажем торы. Однако если дивергенция векторного поля ЧУС a ( i:, Ля, / 2н) зиакоопределена, то в ЧУС отсутствуют двумерные замкнутые поверхности. [33]
Чего в системе Лоренца быть не может, так это квазипериодических автоколебаний. Таким колебаниям должен был бы соответствовать аттрактор в виде тора. Предположим, что такой аттрактор существует. Фазовые траектории не могут пересекать поверхность тора, они могут только приближаться к нему. Рассмотрим ансамбль систем, изображающие точки которых заполняют внутренность тора. Любой элемент объема должен уменьшаться в силу того, что в системе Лоренца дивергенция векторного поля постоянна и отрицательна. С другой стороны, объем внутренности тора должен оставаться постоянным. Эти два вывода несовместимы - мы пришли к противоречию, и, следовательно, предположение о наличии аттрактора в виде тора не может быть верным. [34]