Cтраница 4
Сначала я хотел бы обратить ваше внимание на то, что здесь применение метода Монте-Карло является вполне возможным. Теперь нам нужна только машина или радиоактивное вещество, которое производит процесс Пуассона. Затем мы берем, например, 100 реализаций процесса Пуассона, для каждой из них вычисляем интеграл ( 25) и строим среднее арифметическое полученных значений. Одну и ту же задачу, следовательно, можно сформулировать двумя различными способами, из которых один является полезным, а другой пет. [46]
Интересна связь этого результата с теоремами о покрытии. Отметим, что время ожидания превосходит t тогда и только тогда, когда каждый подынтервал 0, t длины содержит по крайней мере один момент поступления. Таким образом, (2.6) утверждает: если в процессе Пуассона на О, t происходит ровно п - 1 поступлений, то условное распределение моментов поступления, равномерно. [47]
Соединяя все моменты восстановления вместе, мы получим некоторый новый процесс. Вообще говоря, новый процесс не будет процессом восстановления, однако для него легко подсчитать время ожидания W первого после нуля восстановления. Мы покажем, что при весьма общих условиях распределение W приближается к показательному закону, а составной процесс-к процессу Пуассона. Этот результат объясняет, почему многие процессы ( такие, как поток вызовов, поступающих на телефонную станцию) похожи на процесс Пуассона. [48]
Предположим, что каждому t из некоторого числового интервала поставлена в соответствие случайная величина 5 ( 0 - Тогда совокупность этих величин ( ( /)) называется случайным процессом. Для упрощения символики пишут просто: случайный процесс 5 ( 0 - без внешних скобок. Видим, что X ( t) - число событий простейшего потока в интервале ( 0; t) - случайный процесс. Он называется процессом Пуассона с параметром А. Поскольку число v событий простейшего потока в интервале А ( а; Ь) есть приращение процесса Пуассона в этом интервале: v X ( Ь) - X ( а), то процесс Пуассона есть процесс с независимыми приращениями, что означает независимость приращений в непересекающихся интервалах времени. Если известно, что в данный интервал попало п событий потока, то их моменты независимы и равномерно распределены в данном интервале. [49]