Cтраница 2
Специальным случаем совокупностей случайных величин являются так называемые обобщенные случайные процессы, введенные недавно К. [16]
Для представлений первого типа имеется возможность свести классификацию неэквивалентных представлений коммутационных соотношений к классификации обобщенных случайных процессов ( полей), описываемых неэквивалентными функциями распределения. Проиллюстрируем изложенный выше формализм. [17]
Очевидно, если Л - обобщенный процесс, то все его производные также являются обобщенными случайными процессами. [18]
Это вселяет надежду, на то, что при решении СДУ (4.31) нам удастся избежать обращения к теории обобщенных случайных процессов. [19]
Производные от обобщенных функций определяются равенствами ( 5) и ( 6) точно так же, как и производные обобщенных случайных процессов. [20]
Отметим еще, что аналогично тому как в математическом анализе вводится понятие обобщенной функции, о котором говорилось в примечании 2, может быть введено также и понятие обобщенного случайного процесса, для которого не обязано существовать значение в точке X ( /), но тем не менее для широкого класса линейных измерительных приборов ( характеризуемых своими весовыми функциями h ( t) - см. § 13 этой книги) может быть определен результат измерения значений процесса X с помощью данного прибора, представляющий собой случайную величину X ( / i), линейно зависящую от весовой функции h ( t) ( см. [ 51, гл. [21]
Можно было бы подумать, что за счет расширения пространства основных функций ( что должно вести к сужению класса возможных функционалов) и ограничения вида корреляционного функционала мы потеряли некоторые обобщенные случайные процессы. [22]
Таким образом, определение производной обобщенного случайного процесса согласовано с определением среднеквадратической производной обычного среднеквадратического дифференцируемого случайного процесса. С другой стороны, произвольный обобщенный случайный процесс всегда обладает производными любого сколь угодно высокого порядка, которые также являются обобщенными случайными процессами. [23]
Указанный выше подход подобен тому, который используется при рассмотрении обобщенных функций, когда обобщенные функции не определяются через их значения для каждого значения аргумента, а вместо этого они определяются через интеграл от их произведения на каждую функцию из подходящим образом определенного класса функций. По этой причине белый гауссов шум обычно называют обобщенным случайным процессом. [24]
Эта теорема играет фундаментальную роль в теории цилиндрических мер и обобщенных случайных процессов, но по поводу этих применений мы можем лишь отослать читателя к упомянутой книге Шварца. Наш второй результат состоит в другом доказательстве существования броуновского движения, из которого непосредственно получается модуль непрерывности Леви. [25]
Это соответствие называют умеренным обобщенным случайным процессом. Очевидно, что сужение умеренного обобщенного процесса на 3) является обобщенным случайным процессом. [26]
Таким образом, определение производной обобщенного случайного процесса согласовано с определением среднеквадратической производной обычного среднеквадратического дифференцируемого случайного процесса. С другой стороны, произвольный обобщенный случайный процесс всегда обладает производными любого сколь угодно высокого порядка, которые также являются обобщенными случайными процессами. [27]
Использование понятия обобщенного случайного процесса позволяет заметно упростить теорию С. A ( t) имеет производные всех порядков ( являющиеся, вообще говоря, обобщенными случайными процессами), то С. [28]
Читатель заметит, что определение случайного процесса у нас все время несколько меняется в зависимости от рассматриваемых конкретных вопросов. Для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, в правую часть которых входят случайные процессы, очень полезно преобразование Фурье; но наибольшую естественность это понятие имеет не в обычных, а в обобщенных функциях. Поэтому появляются обобщенные случайные процессы. В основу рассмотрения динамических систем со случайными воздействиями положено понятие цепи Маркова, а диффузионные процессы вообще рассматриваются на физическом уровне строгости; к динамическим системам имеют прямое отношение лишь их распределения вероятностей в: рамках некоторой предельной теоремы. [29]
Использование понятия обобщенного случайного процесса позволяет заметно упростить теорию С. A ( t) имеет производные всех порядков ( являющиеся, вообще говоря, обобщенными случайными процессами), то С. [30]