Cтраница 3
Ясно, что они чрезвычайно нерегулярны, траектории их причудливо скачут. Ситуация усугубляется тем, что при правильно выполненном предельном переходе интенсивность белого шума оказывается бесконечно большой, так как скачки происходят между минус и плюс бесконечностью С одной стороны, интуитивно ясно, что полностью случайный процесс бесконечно большой интенсивности не оказывал бы ча систему никакого влияния. С другой стороны, это означает, то белый шум представляет собой весьма странный объект, который вряд ли можно считать обычным случайным процессом. Для случайных процессов белый шум означает то же самое, что дельта-функция Дирака для детерминированных функций. Это обобщенный случайный процесс ( см. приложение А) и обращаться с ним необходимо весьма осторожно. [31]
Мортенсен не без основания писал в 1969 г. [ 1.89, с. Хотя этот сюжет [ исчисления Ито и Стратоновича ] за последние два года обсуждался в ряде работ, по прочтении некоторых из них количество неясных мест не уменьшается, а увеличиваете. Это замечание относится и к современной литературе по системам с шумом, быть может, даже в большей степени, чем прежде. Несмотря на четкие, тщательно продуманные работы Мортенсена и других авторов, всему кругу проблем по-прежнему недостает ясности. Не прекращаются попытки доказать неверность одного определения стохастического интеграла и установить другое как единственно законное и приемлемое в научных приложениях. Большинство возникающих недорауумо-ний обусловлено тем, что слишком многие исследователи, работающие в интересующей нас области, не сознают особую природу белого шума - объекта необычного, но зато и открывающего необычайные перспективы. Они упорно закрывают глаза на то, что белый шум является обобщенным случайным процессом с совершенно иными свойствами, чем обычный случайный процесс. Широко распространено и такое мнение, будто значительная часть связанных с белым шумом тонкостей представляет интерес лишь для математиков, ставящих превыше всего безупречную строгость изложения, и не имеет особого значения для практических приложений. Сторонники такого мнения оказываются в довольно затруднительном положении, когда рано или поздно выясняется, что те самые математические излишества, к которым они относились с таким предубеждением, приводят к весьма ощутимым практическим следствиям. Именно такая ситуация наблюдается ныне в исследовании систем, мультипликативно связанных с флуктуирующей средой. Для того чтобы быстро рассеять все недоразумения, в действительности требуется лишь минимальный уровень математической строгости и надлежащие меры предосторожности при обращении с характерными особенностями белого шума. [32]