Cтраница 1
Выпуклые процессы занимают промежуточное положение между линейными операторами и бифункциями. Они образуют алгебру многозначных отображений, обладающую многими интересными свойствами, связанными с двойственностью. [1]
Операция сложения выпуклых процессов коммутативна и ассоциативна и совокупность всех выпуклых процессов относительно этой операции становится полугруппой, роль единичного элемента в которой играет нулевой линейный оператор. [2]
Если А - замкнутый выпуклый процесс, то при всех и 6 dom Л множества Аи замкнуты и имеют один и тот же рецессивный конус, именно - ЛО. [3]
Сложение и умножение выпуклых процессов, вообще говоря, не связаны дистрибутивным законом. [4]
Алгебраические операции с выпуклыми процессами соответствуют введенным в предыдущем параграфе операциям с бифунк-циями. Например, если AI и Л2 - супремально ориентированные выпуклые процессы, действующие из К - т в Шп, и FI и Fz - их индикаторные бифункции, то бифункция F П F2 равна индикаторной бифункции процесса AI Л2 - Если А - супремально ориентированный выпуклый процесс, действующий из Dlm в 01П, В - супремально ориентированный выпуклый процесс, действующий из R в ЩР, F - индикаторная бифункция процесса A, G - индикаторная бифункция процесса В, то GF - индикаторная бифункция процесса В А. [5]
Мы можем конкретизировать для выпуклых процессов общие теоремы о свойствах скалярных произведений, содержащих выпуклые или вогнутые бифункции. [6]
Теорема 39.1. Если А - выпуклый процесс, действующий из IRm в К11, dom А 31й и АО - ограниченное множество, то А - линейный оператор. [7]
Теорема 39.5. Пусть А и А2 - выпуклые процессы, действующие из Rm в 1ЯП и имеющие одинаковую ориентацию. [8]
Теорема 39.8. Пусть А и В - выпуклые процессы, действующие из 31 m в 31 и из 51 в Ир соответственно и имеющие одинаковую ориентацию. [9]
Из определения сразу следуют различные элементарные свойства выпуклых процессов. Если А - выпуклый процесс, действующий из 1Ят в Dln, TO множества Аи выпуклы. [10]
Аналогичная связь существует между выпукло-вогнутыми функциями и инфимально ориентированными выпуклыми процессами. [11]
Для того чтобы построить содержательную теорию двойственности для выпуклых процессов, нам нужно ввести понятие ориентации, отражающее различия между выпуклостью и вогнутостью в теории бифункций. [12]
Таким образом, линейные операторы являются специальным классом выпуклых процессов. [13]
Чуть ниже мы увидим, что таким образом действительно определяется выпуклый процесс. Чтобы получить определение сопряженного с инфимально ориентированным выпуклым процессом достаточно в данном определении изменить знаки неравенств. [14]
Операция сложения выпуклых процессов коммутативна и ассоциативна и совокупность всех выпуклых процессов относительно этой операции становится полугруппой, роль единичного элемента в которой играет нулевой линейный оператор. [15]