Cтраница 2
Из общих результатов предыдущего параграфа можно легко извлечь основные свойства сумм и произведений выпуклых процессов. [16]
Заметим, что в случае когда Л - линейный оператор, то сопряженный с Л как с выпуклым процессом ( неважно какой ориентации) есть сопряженный линейный оператор. [17]
Замыкание графика Л есть выпуклый конус в R m, содержащий начало координат, поэтому это график некоторого выпуклого процесса. [18]
Используя такое расширенное понятие скалярного произведения, мы можем очевидным образом конкретизировать теорему 38.7 и следствия из нее применительно к ориентированным выпуклым процессам и ориентированным выпуклым множествам. [19]
Эта теорема есть специальный случай теоремы 33.3. Нетрудно показать, что бифункция F в том и только том случае будет индикаторной бифункцией выпуклого процесса, когда / С обладает указанными в формулировке теоремы свойствами. [20]
В близких работах Макарова и Рубинова [1] и Руби-нова [2], вызванных к жизни задачами математической экономики, изучаются экстремальные задачи, включающие выпуклые процессы. [21]
Отсюда следует, что график процесса Л представляет собой замкнутый выпуклый конус в 01 и, содержащий начало координат, и, следовательно, Л - замкнутый выпуклый процесс. [22]
Положительная однородность по х следует из того, что ( Аи -) есть опорная функция множества Аи, а положительная однородность по и - из условия ( Ь) в определении выпуклого процесса. [23]
Выпуклые процессы Л и Л 1, рассмотренные в предыдущем примере, полиэдральны, как, очевидно, и все линейные операторы. [24]
Из определения сразу следуют различные элементарные свойства выпуклых процессов. Если А - выпуклый процесс, действующий из 1Ят в Dln, TO множества Аи выпуклы. [25]
Чуть ниже мы увидим, что таким образом действительно определяется выпуклый процесс. Чтобы получить определение сопряженного с инфимально ориентированным выпуклым процессом достаточно в данном определении изменить знаки неравенств. [26]
В результате, очевидно, снова получается выпуклый процесс. [27]
Алгебраические операции с выпуклыми процессами соответствуют введенным в предыдущем параграфе операциям с бифунк-циями. Например, если AI и Л2 - супремально ориентированные выпуклые процессы, действующие из К - т в Шп, и FI и Fz - их индикаторные бифункции, то бифункция F П F2 равна индикаторной бифункции процесса AI Л2 - Если А - супремально ориентированный выпуклый процесс, действующий из Dlm в 01П, В - супремально ориентированный выпуклый процесс, действующий из R в ЩР, F - индикаторная бифункция процесса A, G - индикаторная бифункция процесса В, то GF - индикаторная бифункция процесса В А. [28]
Лм содержит единственный вектор ( также обозначаемый далее Аи) и А ( - и) - Аи. Но в этом случае, как было только что показано, Л ( м4 и2) Aui Лм2 для всяких MI, м2, а равенство А ( Ки) Лм следует из условия ( Ь) в определении выпуклого процесса. [29]
Алгебраические операции с выпуклыми процессами соответствуют введенным в предыдущем параграфе операциям с бифунк-циями. Например, если AI и Л2 - супремально ориентированные выпуклые процессы, действующие из К - т в Шп, и FI и Fz - их индикаторные бифункции, то бифункция F П F2 равна индикаторной бифункции процесса AI Л2 - Если А - супремально ориентированный выпуклый процесс, действующий из Dlm в 01П, В - супремально ориентированный выпуклый процесс, действующий из R в ЩР, F - индикаторная бифункция процесса A, G - индикаторная бифункция процесса В, то GF - индикаторная бифункция процесса В А. [30]