Cтраница 3
Анализ соответствующей математической задачи ( записанной, как правило, в безразмерном виде), предваряющий ее решение, позволяет остановить свой выбор на подходящем методе математической физики. Однако часто математическая проблема является столь сложной, что нет никаких прямых аналитических путей ее решения. Тогда для анализа выбранной модели ( физической или математической) привлекают методы теории подобия, что в ряде случаев открывает эффективный путь к решению проблемы. [31]
На первый взгляд кажется, что такую динамическую характеристику легко получить экспериментально. Однако поскольку в реальных схемах сопротивления во внешних цепях активных элементов могут меняться в очень широких пределах, получение экспериментальных динамических характеристик нерационально. В то же время аналитические выражения, описывающие статические характеристики активных элементов, весьма сложны, поэтому и аналитический путь нахождения динамических характеристик также оказывается нежелательным. [32]
Первым по времени творцом теоретической механики является у нас Эйлер, проживший в Петербурге 31 год и там умерший. Упомянутая выше его книга Механика или наука о движении, изложенная аналитически оказала большое влияние на развитие теоретической механики по аналитическому пути; она имела влияние и на Лагранжа. Академику Михаилу Васильевичу Остроградскому ( 1801 - 1861) принадлежит ряд существенных результатов в деле развития теоретической механики по аналитическому пути; к школе Остроградского принадлежит много наших замечательных ученых-механиков. [33]
Мне незачем далеко ходить за примерами для подтверждения этой формулы; они у всех перед глазами: такова схема развития основных понятий числа и функции, такова формула великой математической революции XVII столетия, создавшей и выдвинувшей на первое место анализ бесконечно малых. Долгое время математики ограничивались конечным или алгебраическим интегрированием дифференциальных уравнений, но после разрешения многих интересных задач уравнения, разрешимые этим способом, были фактически исчерпаны, и нужно было либо отказаться от дальнейшего прогресса, либо отрешиться от формальной точки зрения и стать на новый аналитический путь. Аналитическое направление в теории дифференциальных уравнений утвердилось недавно; и еще семь лет тому назад покойный проф. Пуанкаре, Но ввиду блестящих ежедневных успехов новых идей, плодотворность и жизненность их не подлежит уже никакому сомнению, и теперь никто не станет серьезно возражать против того, что теория конечного интегрирования потеряла самостоятельное значение и является только частью быстро разрастающейся общей или аналитической теории дифференциальных уравнений. [34]
На рис. 1 - 2 схематически представлено положение, которое существовало до того, как стали применяться вычислительные машины. Часто усилия, затраченные на построение математической модели, практически пропадали даром, так как описывающие ее уравнения никаким образом не решались. Поэтому аналитический путь выглядел чисто академическим и не имел права на существование в промышленности. [35]
В разделе Задача о прибыли рассматривается учебная проблема оптимизации. Из данного квадратного листа металла изготовляется некоторое количество коробочек. При известных ценах на эти коробочки и ценах на оставшиеся обрезки металла требуется осуществить такой раскрой, при котором доход от продажи коробочек и от продажи отходов будет максимальным. Хотя рассматриваемая задача имеет достаточно простую форму, в ее решении проявляются многие черты, характерные для серьезных проблем оптимизации. Рассматривается аналитический путь решения. [36]
В конечном счете речь идет о правильной интерпретации в каждой из упомянутых формул числителя и знаменателя. Эффективное построение функции det ( определителя) даст ответ также на многие другие вопросы о матрицах, поднятые в гл. На самом деле роль теории определителей в математике гораздо шире затронутой нами темы, и каждое из применений этой теории подсказывает собственный путь ее построения. Один из наиболее естественных подходов - геометрический, основанный на аналогии определители матриц - объемы многомерных фигур и на внешних n - формах. Так как для этого нужно чуточку больше техники, то мы остановимся на аналитическом пути, апеллируя к геометрической интуиции лишь в самом начале. [37]
В конечном счете речь идет о правильной интерпретации в каждой из упомянутых формул числителя и знаменателя. Эффективное построение функции det ( определителя) даст ответ также на многие другие вопросы о матрицах, поднятые в гл. На самом деле роль теории определителей в математике гораздо шире затронутой нами темы, и каждое из применений этой теории подсказывает собственный путь ее построения. Один из наиболее естественных подходов - геометрический, основанный на аналогии определители матриц - объемы многомерных фигур и на внешних n - формах. Так как для этого нужно чуточку больше техники, то мы остановимся на аналитическом пути, апеллируя к геометрической интуиции лишь в самом начале. [38]